用 DTFT 的 Parseval 关系计算定积分¶
2023年4月9日，2023年4月15日。
为简便，\(z \coloneqq e^{jw}\)。可见 \(z^* = 1/z\)。
问题¶
徒手计算下式。
\[
\int\limits_0^\pi \frac{\dd{w}}{3.25 - 3 \cos w}.
\]
另法
留数定理。
解¶
若 \(\abs{\alpha}<1\)，则
\[
\alpha^n u \leftrightarrow \frac{1}{1 - \alpha /z}.
\]
由 Parseval 定理，
\[
\int_0^\pi \abs{\frac{1}{1-\alpha /z}}^2 \dd{w} = \pi \sum_n \abs{\alpha^n u}^2 = \frac{\pi}{1-\abs{\alpha}^2}.
\]
\[
\begin{split}
\abs{\frac{1}{\beta-\alpha /z}}^2
&= \frac{1}{\beta^2 + \alpha^2 - \alpha\beta/z - \alpha\beta z} \\
&= \frac{1}{\beta^2 + \alpha^2 - 2\alpha\beta \cos w}. \\
\end{split}
\]
注意 \(1\) 变成了 \(\beta\)。
现在令上式等于题目中的被积函数，即
\[
\begin{cases}
\alpha^2+\beta^2 &= 3.25. \\
2\alpha\beta &= 3.
\end{cases}
\]
然后可知
\[
\begin{cases}
(\alpha+\beta)^2 &= \alpha^2+\beta^2 + 2\alpha\beta = 6.25. \\
(\alpha-\beta)^2 &= \alpha^2+\beta^2 - 2\alpha\beta = 0.25. \\
\end{cases}
\]
因此
\[
\begin{cases}
\abs{\alpha+\beta} &= 2.5. \\
\abs{\alpha-\beta} &= 0.5.
\end{cases}
\]
解得 \((\alpha,\beta) \in \qty{\pm(1.5, 1),\ \pm(1, 1.5)}\)。
取哪组解呢？
\[
\abs{\frac{1}{\beta-\alpha /z}}^2 = \frac{1}{\abs{\beta}^2} \abs{\frac{1}{1 - \frac\alpha\beta/z}}^2,
\]
要想 \(\qty(1 - \frac\alpha\beta/z)^{-1}\) 的反变换是最开始的形式，必须 \(\abs{\alpha/\beta} <1\)。那我们取 \(\alpha = 1,\ \beta = 1.5\)。（注意结果与 \(\pm\) 无关）
于是原式等于
\[
\frac{1}{1.5^2} \times \frac{\pi}{1 - \frac{1}{1.5^2}} = \frac{4\pi}{5}.
\]
看起来并不用具体解出 \(\alpha,\beta\)，因为答案等于 \(\pi / \abs{\beta^2-\alpha^2}\)，而
\[ \begin{split} (\beta^2-\alpha^2)^2 &= \qty(\beta^2+\alpha^2)^2 - 4\beta^2\alpha^2 \\ &= 3.25^2 - 3^2 \\ &= \frac{13^2 - 12^2}{4^2} \\ &= \frac{5^2}{4^2}. \end{split} \]