信号与系统

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Fourier 分析

周期—离散

2022年5月4日。

“一个域周期”与“另一域离散”等价。

• D: discrete.
• F: Fourier.
• T: transform / time.
• S: series.

	$x(t)$	$x[n]$
$c_k$	FS	DFS
$X(\omega )$ 或 $X(e^{j\mathrm{\Omega }})$	FT	DTFT

综合—分析

2022年5月4日。

	$x(t)$	$x[n]$
$c_k$	$c_k=\frac{1}{T_0}{\int }_{T_0}x{e}^{-jk{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$	$c_k=\frac{1}{N}\sum _{k\in ⟨N⟩}x{e}^{-jk{\mathrm{\Omega }}_{0}n}$
$X(\omega )$ 或 $X(e^{j\mathrm{\Omega }})$	$X(\omega )={\int }_{\mathbb{R}}x{e}^{-j\omega t}\mathrm{d}t$	$X(e^{j\mathrm{\Omega }})=\sum _{n\in \mathbb{Z}}x{e}^{-j\mathrm{\Omega }n}$

	$x(t)$	$x[n]$
$c_k$	$x(t)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{c}_k{e}^{jk{\omega }_{0}t}$	$x[n]=\sum _{k\in ⟨N⟩}{c}_k{e}^{jk{\mathrm{\Omega }}_{0}n}$
$X(\omega )$ 或 $X(e^{j\mathrm{\Omega }})$	$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}X{e}^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$	$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X{e}^{j\mathrm{\Omega }n}\mathrm{d}\mathrm{\Omega }$

常用变换对

2022年6月13、15、19日。

FT

$x(t)$	$X(\omega )$
$\delta$	$1$
$1$	$2\pi \delta$
$u$	$\frac{1}{j\omega }+\pi \delta$
$G_T$	$T\mathrm{sinc}\frac{T\omega }{2}$
$\sin \left({\omega }_{c}t\right)/\left(\pi t\right)$	$G_{2{\omega }_c}$
$\mathrm{sinc}({\omega }_{c}t)$	$\frac{\pi }{{\omega }_c}{G}_{2{\omega }_c}$
$e^{-at}u$，$\mathrm{Re}a>0$	$\frac{1}{a+j\omega }$
$t{e}^{-at}u$，$\mathrm{Re}a>0$	$\frac{1}{{(a+j\omega )}^2}$
$\sum {\delta \phantom{\int }|}_{t-T_0\mathbb{Z}}$	${\omega }_0\sum {\delta \phantom{\int }|}_{\omega -{\omega }_0\mathbb{Z}}$，${\omega }_0{T}_0=2\pi$

Laplace

$x(t)$	$X(s)$	ROC
$\delta$	$1$	$\mathbb{C}$
$1$	$2\pi \delta$	$\mathbb{C}$
$e^{-at}u$	$\frac{1}{a+s}$	$\mathrm{Re}s>-a$
$-e^{-at}{u\phantom{\int }|}_{-t}$	$\frac{1}{a+s}$	$\mathrm{Re}s<-a$
$t{e}^{-at}u$，$\mathrm{Re}a>0$	$\frac{1}{{(a+s)}^2}$	$\mathrm{Re}s>-a$
$\cos \left({\omega }_{0}t\right)u$	$\frac{s}{s^2+{{\omega }_0}^2}$	$\mathrm{Re}s>0$
$\sin \left({\omega }_{0}t\right)u$	$\frac{{\omega }_0}{s^2+{{\omega }_0}^2}$	$\mathrm{Re}s>0$

DTFT

下表中 $z=e^{j\mathrm{\Omega }}$。

$x[n]$	$X(e^{j\mathrm{\Omega }})$
$\delta$	$1$
$1$	周期化 $2\pi \delta$
$u$	周期化 $\frac{1}{1-1/z}+\pi \delta$
${\alpha }^{n}u$，$\left|\alpha \right|<1$	$\frac{1}{1-\alpha /z}$
$(n+1){\alpha }^{n}u$	$\frac{1}{{(1-\alpha /z)}^2}$
$G_{\tau }$，其中 $\tau \in 2\mathbb{N}+1$	$\sin \left(\frac{\tau }{2}\mathrm{\Omega }\right)/\sin \left(\frac{1}{2}\mathrm{\Omega }\right)$
$\sin \left({\omega }_{c}n\right)/\left(\pi n\right)$	周期化 $G_{2{\omega }_c}$

Z

ROC: Range of convergence.

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta$	$1$	$\mathbb{C}$
${\alpha }^{n}u$	$\frac{1}{1-\alpha /z}$	$\left|z\right|>\left|\alpha \right|$
$-{\alpha }^n{u\phantom{\int }|}_{-n-1}$	（同上）	$\left|z\right|<\left|\alpha \right|$
$(n+1){\alpha }^{n}u$	$\frac{1}{{(1-\alpha /z)}^2}$	$\left|z\right|>\left|\alpha \right|$
$n{\alpha }^{n}u$	$\frac{\alpha z}{{(z-\alpha )}^2}$	（同上）

一些容易忘的性质

2022年6月19日。

• 对偶：${X\phantom{\int }|}_t\leftrightarrow 2\pi {x\phantom{\int }|}_{-\omega }$ 或 ${X^{\ast }\phantom{\int }|}_t\leftrightarrow 2\pi {x^{\ast }\phantom{\int }|}_{\omega }$。
• Z 域尺度变换、频移：$a^{n}x\leftrightarrow {X\phantom{\int }|}_{z/a}$。（ROC 会变化）

Fourier 变换与 Laplace 变换

2023年10月19日。

$j\omega =\underset{\mathrm{Re}s\to 0}{lim}s$。

例如 $u$ 的 Fourier 变换是 $\frac{1}{j\omega }+\pi \delta$，Laplace 变换是 $\frac{1}{s}$。$\mathrm{Im}s\ne 0$ 的常规区域自不必说，$s\to 0$ 时 $\frac{1}{s}\to \mathrm{\infty }$，但这是 $\delta$ 吗？确实如此。设 $\sigma :=\mathrm{Re}s>0$，则

$$\begin{array}{rl}{\int }_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}\omega }{s}& ={\int }_{\sigma +j\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}s}{s}\\ & ={\ln s\phantom{\int }|}_{\sigma -j\mathrm{\infty }}^{\sigma +j\mathrm{\infty }}\\ & \equiv \frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})\\ & =\pi .\end{array}$$

Z 变换

2022年6月29日。

Z 变换就是序列的生成函数。

杂项

积分变换法解微分方程

2022年7月4日。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}v+av+b=0.$$

• 时域凑微分。

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(e^{a}v\right)=e^{a}b.$$

  故 $e^{at}v-{v\phantom{\int }|}_0=\frac{b}{a}(1-e^{at})$，

  $$v=({v\phantom{\int }|}_0+\frac{b}{a})e^{-at}-\frac{b}{a}.$$

• 在 $t\in {\mathbb{R}}^{+}$ 考虑，$b$ 应看成 $bu$。

  $$\begin{array}{rl}& (sV-{v\phantom{\int }|}_{0^{-}})+aV+\frac{b}{s}=0.\\ & ⟹V=\frac{b}{s(s+a)}+\frac{{v\phantom{\int }|}_0}{s+a}=\frac{b/a}{s}+\frac{{v\phantom{\int }|}_0-b/a}{s+a}.\\ & ⟹v=({v\phantom{\int }|}_0+\frac{b}{a})e^{-at}u-\frac{b}{a}u.\end{array}$$

• 在 $t\in \mathbb{R}$ 考虑。

  $$V=({v\phantom{\int }|}_0+\frac{b}{a})\times 2\pi {\delta \phantom{\int }|}_{s+a}-\frac{b}{a}2\pi \delta .$$

  这确实满足 $sV+aV+2\pi b\delta =0$，但体现不出 $2\pi {\delta \phantom{\int }|}_{s+a}$。（$s\delta \equiv 0$）

注意积分性质 $\mathcal{L}\int X\mathrm{d}t=X/s+{\int }_{{\mathbb{R}}^{-}}x\mathrm{d}t/s$。

Dirac δ

2023年1月9日。

real analysis - Can $e^{c\delta (t)}$ be rewritten some how? - Mathematics Stack Exchange

事实上 $\delta$ 可看成 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{R}}\to \mathbb{R}$ 的映射。

$$\underset{\mathbb{R}}{\int }f\delta \mathrm{d}t:={f\phantom{\int }|}_0.$$

$Y^X$ is the set of functions that maps $X\to Y$. (in the sense of ${\left|Y\right|}^{\left|X\right|}$)

后备箱

• 复合变换时总是变换整个函数的自变量，而非最外层函数的自变量。

• $\sin \left(\omega \mathbb{Z}\right)$ 仅在 $2\pi /\omega \in \mathbb{Q}$ 时有周期。

• 范围

  • 解微分方程时注意自变量的范围。（或乘上 $u$）

  • 区分单边信号和双边信号。双边信号可能是 LTI 系统的特征函数。

    例如，Laplace 变换涉及 $\sin \left({\omega }_{c}t\right)u$ 时应考虑卷积，而涉及 $\sin \left({\omega }_{c}t\right)$ 时应考虑频移定理。

  • 注意系统函数的收敛域，尤其是 Laplace 变换的。
  • 单边 Laplace 变换默认是右边。

• 注意 ${\delta \phantom{\int }|}_{x/a}=a{\delta \phantom{\int }|}_x$，$a>0$。

• 频域卷积定理、Parseval 定理、对偶性质有 $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}}$。

• 可以合并同类项。

• $\mathcal{L}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}x=sX-{x\phantom{\int }|}_{0^{-}}$，$\mathcal{Z}{x\phantom{\int }|}_{n-1}=X/z+{x\phantom{\int }|}_{-1}$，差不少。

• 频率响应用 $H(\omega )$ 表示，别用 $H(s)$。

• 注意正负号：平移信号，时移、频移定理。

• 区分最大频率 ${\omega }_m$ 和 Nyquist 抽样率 ${\omega }_c=2{\omega }_m$。

• 区分卷积和乘积。

• $max[G_{T_1}\ast G_{T_2}]=min[T_1,T_2]$，是最大重合面积，不是面积之积。

• 使用终值定理前，要先检查是否存在终值。

• ${\delta \phantom{\int }|}_t{f\phantom{\int }|}_t={\delta \phantom{\int }|}_t{f\phantom{\int }|}_0\ne {f\phantom{\int }|}_0$。

• ${\alpha }^{n}u$ 在 $\left|\alpha \right|\le 1$ 时才存在 DTFT。（取等时有奇异函数）

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