信号与系统¶
\[
\def\period#1{\left<#1\right>}
\DeclareMathOperator\sinc{sinc}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\C{\mathbb{C}}
\]
Fourier 分析¶
周期—离散¶
2022年5月4日。
“一个域周期”与“另一域离散”等价。
graph TB
dp[离散周期]
dn[离散非周期]
cp[连续周期]
cn[连续非周期]
dp --DFS--> dp
dn --DTFT--> cp
cp --FS--> dn
cn --FT--> cn
- D: discrete.
- F: Fourier.
- T: transform / time.
- S: series.
graph LR
df1[离散有限] --周期延拓--> dp1[离散周期] --DFS--> dp2[离散周期] --取一周期--> df2[离散有限]
df1 -.->|DFT| df2| \(x(t)\) | \(x[n]\) | |
|---|---|---|
| \(c_k\) | FS | DFS |
| \(X(\omega)\) 或 \(X(e^{j\Omega})\) | FT | DTFT |
综合—分析¶
2022年5月4日。
| \(x(t)\) | \(x[n]\) | |
|---|---|---|
| \(c_k\) | \(c_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x e^{-jk\omega_0 t} \dd{t}\) | \(c_k = \frac{1}{N} \sum_{k\in\period{N}} x e^{-jk\Omega_0 n}\) |
| \(X(\omega)\) 或 \(X(e^{j\Omega})\) | \(X(\omega) = \int_{\R} x e^{-j\omega t}\dd{t}\) | \(X(e^{j\Omega}) = \sum_{n\in\Z} x e^{-j\Omega n}\) |
| \(x(t)\) | \(x[n]\) | |
|---|---|---|
| \(c_k\) | \(x(t) = \sum_{k \in \Z} c_k e^{jk\omega_0 t}\) | \(x[n] = \sum_{k\in\period{N}} c_k e^{jk\Omega_0 n}\) |
| \(X(\omega)\) 或 \(X(e^{j\Omega})\) | \(x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{\R} X e^{j\omega t} \dd{\omega}\) | \(x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X e^{j\Omega n} \dd{\Omega}\) |
常用变换对¶
2022年6月13、15、19日。
FT¶
| \(x(t)\) | \(X(\omega)\) |
|---|---|
| \(\delta\) | \(1\) |
| \(1\) | \(2\pi \delta\) |
| \(u\) | \(\frac{1}{j\omega} + \pi\delta\) |
| \(G_T\) | \(T \sinc\frac{T\omega}{2}\) |
| \(\sin(\omega_c t) / \qty(\pi t)\) | \(G_{2\omega_c}\) |
| \(\sinc(\omega_c t)\) | \(\frac{\pi}{\omega_c} G_{2\omega_c}\) |
| \(e^{-at} u\)，\(\Re\ a > 0\) | \(\frac{1}{a + j\omega}\) |
| \(t e^{-at} u\)，\(\Re\ a > 0\) | \(\frac{1}{\qty(a + j\omega)^2}\) |
| \(\sum \eval{\delta}_{t-T_0\Z}\) | \(\omega_0\sum \eval{\delta}_{\omega - \omega_0 \Z}\)，\(\omega_0 T_0 = 2\pi\) |
Laplace¶
| \(x(t)\) | \(X(s)\) | ROC |
|---|---|---|
| \(\delta\) | \(1\) | \(\C\) |
| \(1\) | \(2\pi \delta\) | \(\C\) |
| \(e^{-at} u\) | \(\frac{1}{a + s}\) | \(\Re\ s > -a\) |
| \(-e^{-at} \eval{u}_{-t}\) | \(\frac{1}{a+s}\) | \(\Re\ s < -a\) |
| \(t e^{-at} u\)，\(\Re\ a > 0\) | \(\frac{1}{\qty(a + s)^2}\) | \(\Re\ s > -a\) |
| \(\cos(\omega_0 t) u\) | \(\frac{s}{s^2 + {\omega_0}^2}\) | \(\Re\ s > 0\) |
| \(\sin(\omega_0 t) u\) | \(\frac{\omega_0}{s^2 + {\omega_0}^2}\) | \(\Re\ s > 0\) |
DTFT¶
下表中 \(z = e^{j\Omega}\)。
| \(x[n]\) | \(X(e^{j\Omega})\) |
|---|---|
| \(\delta\) | \(1\) |
| \(1\) | 周期化 \(2\pi\delta\) |
| \(u\) | 周期化 \(\frac{1}{1-1/z} + \pi \delta\) |
| \(\alpha^n u\)，\(\abs{\alpha} < 1\) | \(\frac{1}{1 - \alpha /z}\) |
| \((n+1) \alpha^n u\) | \(\frac{1}{\qty(1-\alpha/z)^2}\) |
| \(G_\tau\)，其中 \(\tau \in 2\N +1\) | \(\sin(\frac\tau2 \Omega) / \sin(\frac12 \Omega)\) |
| \(\sin(\omega_c n) / \qty(\pi n)\) | 周期化 \(G_{2\omega_c}\) |
Z¶
ROC: Range of convergence.
| \(x[n]\) | \(X(z)\) | ROC |
|---|---|---|
| \(\delta\) | \(1\) | \(\C\) |
| \(\alpha^nu\) | \(\frac{1}{1-\alpha/z}\) | \(\abs{z} > \abs{\alpha}\) |
| \(-\alpha^n \eval{u}_{-n-1}\) | （同上） | \(\abs{z} < \abs{\alpha}\) |
| \((n+1) \alpha^n u\) | \(\frac{1}{\qty(1-\alpha/z)^2}\) | \(\abs{z} > \abs{\alpha}\) |
| \(n \alpha^n u\) | \(\frac{\alpha z}{\qty(z - \alpha)^2}\) | （同上） |
一些容易忘的性质¶
2022年6月19日。
- 对偶：\(\eval{X}_t \leftrightarrow 2\pi \eval{x}_{-\omega}\) 或 \(\eval{X^*}_t \leftrightarrow 2\pi \eval{x^*}_\omega\)。
- Z 域尺度变换、频移：\(a^n x \leftrightarrow \eval{X}_{z/a}\)。（ROC 会变化）
Fourier 变换与 Laplace 变换¶
2023年10月19日。
\(j \omega = \lim_{\Re\ s \to 0} s\)。
例如 \(u\) 的 Fourier 变换是 \(\frac{1}{j\omega} + \pi \delta\)，Laplace 变换是 \(\frac{1}{s}\)。\(\Im\ s \neq 0\) 的常规区域自不必说，\(s \to 0\) 时 \(\frac{1}{s} \to \infty\)，但这是 \(\delta\) 吗？确实如此。设 \(\sigma \coloneqq \Re\ s > 0\)，则
\[
\begin{split}
\int_\R \frac{\dd{\omega}}{s}
&= \int_{\sigma + j\R} \frac{\dd{s}}{s} \\
&= \eval{\ln s}_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} \\
&\equiv \frac\pi2 - \qty(- \frac\pi2) \\
&= \pi. \\
\end{split}
\]
Z 变换¶
2022年6月29日。
Z 变换就是序列的生成函数。
杂项¶
积分变换法解微分方程¶
2022年7月4日。
\[
\dv{t}v + av + b = 0.
\]
-
时域凑微分。
\[ \dv{t}\qty(e^a v) = e^a b. \]故 \(e^{at}v - \eval{v}_0 = \frac{b}{a}\qty(1-e^{at})\)，
\[ v = \qty(\eval{v}_0 + \frac{b}{a}) e^{-at} - \frac{b}{a}. \]
-
在 \(t\in\R^+\) 考虑，\(b\) 应看成 \(bu\)。
\[ \begin{split} & \qty(sV-\eval{v}_{0^-}) + aV+ \frac{b}{s} = 0. \\ &\implies V = \frac{b}{s(s+a)} + \frac{\eval{v}_0}{s+a} = \frac{b/a}{s} + \frac{\eval{v}_0 -b/a}{s+a}. \\ &\implies v = \qty(\eval{v}_0 + \frac{b}{a}) e^{-at}u - \frac{b}{a}u. \end{split} \]
-
在 \(t\in\R\) 考虑。
\[ V = \qty(\eval{v}_0 + \frac{b}{a}) \times 2\pi \eval{\delta}_{s+a} - \frac{b}{a} 2\pi\delta. \]这确实满足 \(sV + aV + 2\pi b \delta = 0\)，但体现不出 \(2\pi \eval{\delta}_{s+a}\)。（\(s\delta \equiv 0\)）
注意积分性质 \(\mathcal{L} \int X\dd{t} = X/s + \int_{\R^-}x\dd{t} / s\)。
Dirac δ¶
2023年1月9日。
real analysis - Can \(e^{c\delta(t)}\) be rewritten some how? - Mathematics Stack Exchange
事实上 \(\delta\) 可看成 \(\R^\R \to \R\) 的映射。
\[
\int\limits_\R f \delta \dd{t} \coloneqq \eval{f}_0.
\]
\(Y^X\) is the set of functions that maps \(X \to Y\). (in the sense of \(\abs{Y}^\abs{X}\))
后备箱¶
- 复合变换时总是变换整个函数的自变量，而非最外层函数的自变量。
- \(\sin(\omega \Z)\) 仅在 \(2\pi / \omega \in \Q\) 时有周期。
-
范围
- 解微分方程时注意自变量的范围。（或乘上 \(u\)）
-
区分单边信号和双边信号。双边信号可能是 LTI 系统的特征函数。
例如，Laplace 变换涉及 \(\sin(\omega_c t) u\) 时应考虑卷积，而涉及 \(\sin(\omega_c t)\) 时应考虑频移定理。
- 注意系统函数的收敛域，尤其是 Laplace 变换的。
- 单边 Laplace 变换默认是右边。
- 注意 \(\eval{\delta}_{x/a} = a\eval{\delta}_x\)，\(a > 0\)。
- 频域卷积定理、Parseval 定理、对偶性质有 \(\boxed{\frac{1}{2\pi}}\)。
- 可以合并同类项。
- \(\mathcal{L} \dv{t} x = sX - \eval{x}_{0^-}\)，\(\mathcal{Z}\eval{x}_{n-1} = X/z + \eval{x}_{-1}\)，差不少。
- 频率响应用 \(H(\omega)\) 表示，别用 \(H(s)\)。
- 注意正负号：平移信号，时移、频移定理。
- 区分最大频率 \(\omega_m\) 和 Nyquist 抽样率 \(\omega_c = 2 \omega_m\)。
- 区分卷积和乘积。
- \(\max[G_{T_1} * G_{T_2}] = \min[T_1, T_2]\)，是最大重合面积，不是面积之积。
- 使用终值定理前，要先检查是否存在终值。
- \(\eval{\delta}_t \eval{f}_t = \eval{\delta}_t \eval{f}_0 \neq \eval{f}_0\)。
- \(\alpha^n u\) 在 \(\abs{\alpha} \leq 1\) 时才存在 DTFT。（取等时有奇异函数）