集合论——开启理性思维的钥匙¶
对称差¶
2022年3月8日。
给全集 \(X\) 中任意集合 \(A\) 定义一个函数 \(f_A: X \to \{0,1\}\)：
\[
f_A(x) := \begin{cases}
1 & x \in A. \\
0 & x \notin A. \\
\end{cases}
\]
这是个双射：
\[
\forall A \in \mathcal{P}(X),\quad\{ x \in X \mid f_A(x) = 1 \} = A.
\]
根据 \(A \oplus B\) 的定义，可以验证
\[
f_{A \oplus B} \equiv f_A + f_B. \pmod{2}
\]
现在，
\[
\begin{split}
f_{(A \oplus B) \oplus C}
&\equiv f_{A \oplus B} + f_C \\
&\equiv \qty(f_A + f_B) + f_C \\
&= f_A + \qty(f_B + f_C) \\
&\equiv f_A + f_{B \oplus C} \\
&\equiv f_{A \oplus (B \oplus C)}.
\pmod{2}
\end{split}
\]
由于 \(f\) 的值域是 \(\{0,1\}\)，所以等式两边不只同余，而且相等。因此 \((A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)\)。