半导体物理¶

\[ \newcommand\SI[2]{#1\ \mathrm{#2}} % siunitx (package)l \def\FD{\operatorname{FD}} \def\arsinh{\operatorname{arsinh}} \def\Z{\mathbb{Z}} \]

§0 固体物理¶

2022年2月26日。

晶向、晶面分别用[···]、(···)表示，相应等价类分别用<···>、{···}表示。都是方向向量或法向量的坐标分量最简整数比。（负数写作“\(\bar{\cdot}\)”）

§1 电子状态¶

2022年3月20日。

自由电子：\(\vb*{p} = \hbar \vb*{k}\)，\(E = \hbar \omega\)。

晶体中电子：\(\vb*{p}_\text{crystal} := \hbar \vb*{k}\)（“crystal”可能省略），\(\vb*{v}_\text{group} = \dv{E}{\vb*{k}}\)。

第一 Brillouin 区边界：\(\exists \vb*{G} \in \Z \vb*{b}_1 + \Z b_2 + \Z \vb*{b}_3\)，\(\abs{\vb*{k} + \vb*{G}} = \abs{\vb*{k}}\)，即 \(\vb*{k} \vdot \vu*{G} = -\frac12 G\)。

\(\vb*{a} := \dv{t} \vb*{v}_\text{group}\)，\(\vb*{F} := \dv{t} \vb*{p}\)，故

\[ \vb*{a} = \dv[2]{E}{\vb* p} \vb*{F}. \]

其中的系数称为 inverse mass tensor。选取适当坐标轴，可对角化之，其分量还原为质量量纲后，称为（导带底或价带顶）电子（或空穴）有效质量 \(m^*\)。

2022年4月6日。

单电子近似：晶体中的某一个电子是在周期性排列且固定不动的原子核的势场，以及其它电子的平均势场（也有周期，且与原子核相同）中运动。

§3 载流子浓度¶

背景¶

2022年4月6日。

热平衡：载流子激发与复合动态平衡。

一些公式¶

2022年3月20–21日。

基本都是在导带底或价带顶讨论的。

状态密度¶

状态密度（考虑自旋）

\[ \begin{split} g &:= \dv{Z}{E} \\ &= \dv{Z}{\Omega_p} \dv{\Omega_p}{p} \dv{p}{E} \\ &= 2 \qty(\frac{L}{2\pi \hbar})^3 \times 4\pi p^2 \times \frac{1}{v_\text{group}} \\ &= \boxed{ \frac{V}{\pi^2 \hbar^3} p m_* }. \end{split} \]

其中 \(p\) 是相对极值点的晶体动量。对于电子，\(p = \sqrt{2 m_n^* (E-E_c)}\)。

Fermi—Dirac 分布¶

Fermi—Dirac 分布中，量子态被电子占据的概率

\[ \boxed{ f = \FD{\frac{E-E_F}{k_B T}} }. \]

其中 \(E_F\) 称作 Fermi 能级，半导体物理中一般等于化学势 \(\mu\)。

\(\FD\) 函数是我随便起的名字，它指 standard logistic function 的“负”函数，即 \(1 / (1 + \exp{x})\)。

它的一些性质：

\(\FD(x) + \FD(-x) = 1\)。

\(x\to +\infty\) 时，\(\FD(x) \sim \exp(-x)\) ——Fermi—Dirac 分布退化为 Maxwell—Boltzmann 分布，此时称“非简并半导体”。

\(\FD(x + \ln \gamma) + \FD(-x + \ln{\gamma^{-1}}) = 1\)，即

\[ \frac{1}{1+\gamma \exp{x}} + \frac{1}{1 + \gamma^{-1} \exp(-x)} = 1. \]

载流子浓度¶

导带电子、价带空穴浓度

\[ \begin{aligned} n_0 &:= \frac{1}{V} \int\limits_\text{conduction} f g \dd{E}, \\ p_0 &:= \frac{1}{V} \int\limits_\text{valence} (1-f) g \dd{E}. \\ \end{aligned} \]

非简并时（与 \(k_BT\) 相比，\(E_v \ll E_F \ll E_c\)）可用 Maxwell—Boltzmann 分布替代 Fermi—Dirac 分布；积分区间可从 \((E_c, E_c')\) 或 \((E_v', E_v)\) 近似为 \((E_c, +\infty)\) 或 \((-\infty, E_v)\)。计算可得

\[ \begin{aligned} n_0 &= N_c \exp\frac{E_F - E_c}{k_B T}, \\ p_0 &= N_v \exp\frac{E_v - E_F}{k_B T}. \\ \end{aligned} \]

其中

\[ \boxed{ N_{c/v} = 2 \sqrt{\frac{m_{n/p}^* k_B T}{2\pi \hbar^2}}^3 } \]

称作有效状态密度。（量纲同倒空间中的体积）

故下式与 \(E_F\) 无关。\(n_\text{intrinsic}\) 称作本征载流子浓度。

\[ n_0 p_0 = N_c N_v \exp\frac{-E_\text{gap}}{k_B T} =: n_i^2. \]

另外注意 \(N_{c/v} = \order{T^{3/2}}\)，故由 \(T^{-3/2} \ln n_i\)—\(1/T\) 图线的斜率可测得 \(E_g\)。

使 \(n_0 = p_0 = n_i\) 的 \(E_F\) 记作 \(E_i\)。这样可给出更对称的形式：

\[ \begin{aligned} n_0 &= n_i \exp\frac{E_F - E_i}{k_B T}, \\ p_0 &= n_i \exp\frac{E_i - E_F}{k_B T}. \\ \end{aligned} \]

杂质¶

每个杂质能级最多容纳一个电子，不像能带里那样可被自旋相反的两个电子占据。但仍类似 Fermi—Dirac 分布：

\[ \boxed{ f = \FD\qty(\frac{\Delta E}{k_B T} + \ln\frac{1}{g}) }. \]

其中

\(g\) 是基态简并度，又称简并因子。\(g_\text{donor} = 2\)，\(g_\text{acceptor} = 4\)。

对于施主，\(\Delta E = E_D - E_F\)；对于受主，\(\Delta E = E_F - E_A\)。

一般 \(E_F > E_A \gtrsim E_v\)，\(E_F <E_D \lesssim E_c\)。

因此未电离的浓度 \(n_D = N_D f\)，\(p_A = N_A f\)。

电离的浓度自然是 \(N(1-f)\)，即

\[ \begin{aligned} n_D^+ &= N_D \FD\qty(\frac{E_F - E_D}{k_B T} + \ln g_D), \\ p_A^- &= N_A \FD\qty(\frac{E_A - E_F}{k_B T} + \ln g_A). \\ \end{aligned} \]

其中 \(N_{D/A}\) 是施主／受主杂质浓度。

——离目标越远，电离浓度越低。

电中性条件：

\[ \boxed{ n_0 + p_A^- = p_0 + n_D^+ }. \]

非简并半导体的 \(E_F\)—\(T\) 关系¶

论证¶

联立以上几式，可解出 \(E_F\)，进而得到 \(E_F\) 随温度 \(T\) 的变化关系。

以掺了一种施主杂质的 n 型半导体为例。（\(p_A^- = 0\)，\(n_D^+ > 0\)）

低温：“非主流”载流子可忽略（\(\boxed{ p_0 = 0 }\)，\(n_0 = n_D^+\)）。
1. 弱电离：\(n_D^+ \ll N_D\)，施主电离部分退化为 Maxwell—Boltzmann 分布。
  
  \[ n_D^+ = \frac{N_D}{g_D} \exp\frac{E_D - E_F}{k_B T}. \]
  
  故
  
  \[ n_0 n_D^+ = N_c \frac{N_D}{g_D} \exp\frac{-\Delta E_D}{k_B T}. \]
  
  其中 \(\Delta E_D := E_c - E_D\) 是电离能。
  
  代入电中性条件可得 \(n_0 = \sqrt{n_0 n_D^+}\)，从而由 \(T^{-3/4} \ln n_0\)—\(1/T\) 图线的斜率可测得 \(\Delta E_D\)。
  
  另外可解得
  
  \[ 2E_F = E_D + E_c + k_B T \ln\frac{N_D/g_D}{N_c}. \]
  
  \(E_F - \eval{E_F}_{T=0} = \order{T \ln T}\)。
2. 中间电离
  
  同上。
  
  \(N_D / g_D = N_c\) 时，\(E_F = \eval{E_F}_{T=0}\)。
  
  \(n_D^+ = N_D/g_D\) 时，\(E_F = E_D\)。
3. 强电离（饱和区）：\(n_D^+ = N_D\)；与 \(k_BT\) 相比，\(E_F \ll E_D\)，施主未电离部分退化为 Maxwell—Boltzmann 分布。
  
  \[ n_0 = n_D^+ = N_D. \]
  
  代入电中性条件可得
  
  \[ E_F = E_c + k_B T \ln\frac{N_D}{N_c}. \]
  
  一般就要求工作在此区。
高温：本征激发显著。
1. 过渡：仍然强电离（\(n_D^+ = N_D\)），但必须考虑“非主流”载流子。
  
  由电中性条件 \(n_0 = N_D + p_0\)，结合 \(n_0 p_0 = n_i^2\) 得 \(n_0^2 = N_Dn_0 + n_i^2\)，从而可解得 \(n_0\)。从图象可知 \(N_D \ll n_i\) 时 \(n_0 \approx p_0\)，\(N_D \gg n_i\) 时 \(n_0 \gg p_0\)。
  
  又，\(N_D = n_0 - p_0 = 2 n_i \sinh\frac{E_F - E_i}{k_B T}\)，故
  
  \[ E_F = E_i + k_B T \arsinh\frac{N_D}{2n_i}. \]
2. 高温本征激发：与 \(n_0, p_0\) 相比，\(N_D \approx 0\)。
  
  \(2E_F \approx E_c + E_v\)，载流子浓度取决于对温度非常敏感的本征激发载流子。

总结¶

分区	杂质电离	本征激发
弱电离	\(n_D^+ \ll N_D\)	\(p_0 = 0\)
中间电离	\(n_D^+ \lesssim N_D\)	（同上）
强电离	\(n_D^+ = N_D\)	（同上）
过渡	（同上）	\(p_0 > 0\)
高温本征激发	（同上）	\(n_0 = p_0 \gg N_D\)

分区	\(n_0\)	\(E_F\)
弱电离	\(\sqrt{n_0 n_D^+} = \sqrt{(\cdots)\exp(-\Delta E_D / k_B T)}\)	\(\frac12(E_c+E_D) + \frac12 k_B T \ln\frac{N_D/g_D}{N_c}\)
中间电离	\(n_D^+ = (\cdots) \FD\qty((E_F-E_D) / k_B T)\)	（仅特殊点易写出）
强电离	\(N_D\)	\(E_c + k_B T \ln\frac{N_D}{N_c}\)
过渡	（由 \(n_0=p_0+N_D\) 解出）	\(E_i + k_B T \arsinh\frac{N_D}{2n_i}\)
高温本征激发	\(n_i = \sqrt{(\cdots) \exp(-E_g / k_B T)}\)	\(E_i = \frac12(E_c+E_v) + \frac12 k_B T \ln\frac{N_v}{N_c}\)

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重制版¶

2022 年 4 月 16—17 日。

载流子浓度公式记忆技巧 | 推送 (ydx-2147483647.github.io)

§5 非平衡载流子¶

一些公式¶

2022年5月29日。

模型：n 型半导体，光注入（两种非平衡载流子等浓度，即 \(\Delta n = \Delta p\)）。

复合率 \(U \coloneqq \Delta p / \tau\)，其中 \(\tau\) 是寿命，而非平均自由时间。

判据：

小注入：\(\Delta p \ll n_0 + p_0\)。
- 强 n 型：\(n_0 \gg p_1 \gg n_1 \gg p_0\)。（在此有 \(\tau_p\)）
- 高阻：\(p_1 \gg n_0 \gg p_0 \gg n_1\)。

表面复合速度 \(s \coloneqq U_s / \eval{\Delta p}_s\)，其中 \(U_s\) 是单位面积（而非单位体积）的复合速率。

间接复合¶

2022年5月29日。

“激发（generate）出导带电子、价带空穴”相当于“导带空穴、价带电子复合（recombine）”，书上都是按实际物理过程考虑，这里都按复合考虑。

flowchart RL
    subgraph 电子
        nc["n"]
        nt["n<sub>t</sub>"]
        nv["n<sub>i</sub><sup>2</sup> / p"]
    end
    subgraph 空穴
        pc["n<sub>i</sub><sup>2</sup> / n"]
        pt["n<sub>t</sub><sup>+</sup>"]
        pv["p"]
    end

    nc -.-|导带| pc
    nt -.-|陷阱| pt
    nv -.-|价带| pv

    %% nc --- pt --- nv
    %% pc --- nt --- pv

一共有四种复合过程（两个叉，如下表），每种的复合率都正比于复合双方的浓度，另外若某个浓度几乎是零，则可看作常数。（其实并非“看作”，而是物理机制变了。）

复合一方	导带	价带
电子	导带电子–陷阱空穴 \(r_n n n_t^+.\)	价带电子–陷阱空穴 \(s_+n_t^+=r_pp_1n_t^+.\)
空穴	导带空穴–陷阱电子 \(s_-n_t = r_n n_1n_t.\)	价带空穴–陷阱电子 \(r_p pn_t.\)

设简并因子为一，则 \(n_{t0}^+ / n_{t0} = \exp\qty(\qty(E_t - E_F) / k_B T)\)，由此可构造 \(n_1,\ p_1\)，恰好形式上同 \(n_0,\ p_0\)。

平衡时，\(U = r_nnn_t^+ - r_nn_1n_t = r_ppn_t - r_pp_1n_t^+\)，通过线性组合凑 \(n_t + n_t^+ = N_t\)，得

\[ \begin{split} U &= N_t \frac{ \begin{vmatrix} r_nn & r_pp_1 \\ r_nn_1 & r_pp \\ \end{vmatrix} }{ r_n n + r_n n_1 + r_pp + r_pp_1 } &= N_t \frac{r_n r_p \qty(p_0\Delta n + n_0\Delta p + \Delta n \Delta p)}{\cdots}. \end{split} \]

考察 \(U\) 随 \(E_t\) 的关系。注意 \(n_1 p_1 = {n_i}^2\)，故 \(r_n n_1 + r_p p_1 \geq \sqrt{r_n r_p} n_i\)，当 \(r_n n_1 = r_p p_1\) 时取等。一般 \(r_n \approx r_p\)，于是 \(n_1 \approx p_1\)，故 \(E_t \approx E_i\) ——有效复合中心在禁带中央附近。

再看 \(U\)，它的极限之一为 \(N_t r_p \Delta p\)，意义是 \(\tau_p \Delta p\)。

§8 MIS 结构¶

理想情况¶

2022年5月24日。

以 Metal – Insulator – p-Semiconductor（Al – SiO₂ – p-Si）为例。

理想 MIS 结构：

\(W_\text{metal} = W_\text{semiconductor}\)。
绝缘层（insulator）无电荷且完全不导电。
无界面态。

与其说是理想结构，不如说是简化结构，比如第一条不满足也不会怎么样。

电荷分布模型¶

\(\rho = q(n_D^+ + p_p - p_A^- - n_p)\)，与 \(x\)（到界面的距离）有关。又密度正比于 \(\exp\frac{- \text{电势能}}{k_B T}\)、体内（\(x \to +\infty\)）电中性，可得

\[ \frac{\rho}{q} = -n_{p0} \qty(\exp\frac{qV}{k_BT} - 1) + p_{p0} \qty(\exp\frac{-qV}{k_B T} - 1). \]

其中 \(V\) 含 \(x\)。

注意 Metal 那_儿还有一些电荷，总体电荷守恒。后面考虑电场时也要记得这一点。

\(\frac{qV}{k_BT}\) 将频繁出现，这里简记作 \(u\)。

注意是 p 型半导体，\(n_{p0} \ll p_{p_0}\)，再提出一个 \(p_{p0}\) 有助于抓住主要矛盾：

\[ \begin{split} \frac{\rho}{q p_{p0}} &= \exp(-u) - 1 - \frac{n_{p0}}{p_{p0}} \qty(\exp{u} - 1) \\ &= \begin{cases} \exp(-u) & u \ll -1. \\ -u & u \approx 0. \\ -1 & 1 \ll u \ll \log\frac{p_{p0}}{n_{p0}}. \\ \displaystyle -\frac{n_{p0}}{p_{p0}} \exp{u} & u \gg \log\frac{p_{p0}}{n_{p0}}. \end{cases} \end{split} \]

若无 \(n_{p0} \ll p_{p0}\)（此时可能应写成 \(n_0,\ p_0\)），则 \(u \approx 0\) 时近似为 \(u \frac{n_0+p_0}{p_0}\)。

电荷分布

总电荷¶

以上只是各处电荷体密度，而讨论电容效应时涉及总电荷面密度 \(Q_s\)。

准备用高斯定理从电场强度 \(E\) 求 \(Q_s\) —— \(E_s \coloneqq -\eval{\dv{V}{x}}_{x=0} = -Q_s/\varepsilon\)。因为只有 \(\rho\) 与 \(V\) 的关系，不好直接积分。

还知道 \(\laplacian V = - \rho /\varepsilon\)，以及边界条件 \(\eval{V}_{x=0} = V_s, \eval{V}_{x\to+\infty} = 0\)，其中 \(\varepsilon\) 是半导体的介电常数，s 表示 surface 或 semiconductor。

\[ \begin{split} 0 &= \int\limits_0^{+\infty} \qty(\dv[2]{V}{x} + \frac{\rho}{\varepsilon}) \dv{V}{x} \dd{x} \\ &= \int\limits_0^{+\infty} \dv{V}{x} \dv{x} \dv{V}{x} \dd{x} + \int\limits_0^{+\infty} \frac\rho\varepsilon \dv{V}{x} \dd{x} \\ &= \frac12 \eval{\qty(\dv{V}{x})^2}_{x=0}^{+\infty} + \int\limits_{E_s}^0 \frac\rho\varepsilon \dd{V} \\ &= -\frac12 {E_s}^2 - \int\limits_0^{E_s} \frac\rho\varepsilon \dd{V}. \end{split} \]

这种做法的三维版本是什么？向量曲线积分？可由 \(\rho = \eval{\rho}_V\) 证明 \(\rho \grad V\) 无旋，但 \((\laplacian V) \grad V\) 呢？

下面计算 \(\int_0^{E_s} \rho/\varepsilon \dd{V}\)。

先转换为 \(u\)：\(\frac\rho\varepsilon \frac{q}{k_BT} \dd{V} = \frac{qp_{p0}}{\varepsilon} \frac{\rho}{qp_{p0}} \dd{u}\)。设 Debye 长度

\[ \boxed{ L_D := \sqrt{ \frac{\varepsilon}{qp_{p0}} \frac{k_B T}{q}} }, \]

\(L_D\) 与 \(u_s\) 无关。

则

\[ L_D^2 \frac\rho\varepsilon \dd{V} = \qty(\frac{k_BT}{q})^2 \frac{\rho}{q p_{p0}} \dd{u}. \]

再计算 \(u\) 的积分。

\[ \begin{split} \int\limits_0^{u_s} \frac\rho{qp_{p0}} \dd{u} &= \int\limits_0^{u_s} \qty(\exp(-u) - 1 - \frac{n_{p0}}{p_{p0}} \qty(\exp{u} - 1)) \dd{u} \\ &= \eval{\qty(- \exp(-u) - u - \frac{n_{p0}}{p_{p0}} \qty(\exp{u} - u))}_0^{u_s} \\ &= 1-\exp(-u_s) - u_s - \frac{n_{p0}}{p_{p0}} \qty(\exp{u_s}-1 - u_s) \\ &=: - F^2. \end{split} \]

\(F\) 函数的正负与 \(u_s\) 保持一致。

\(F\) 的各段近似也可直接由 \(\frac{\rho}{q p_{p0}}\) 的近似得到。

F函数

综合上述内容，得

\[ \begin{aligned} & \frac{{Q_s}^2}{2 \varepsilon^2} = \qty(\frac{k_BT}{q})^2 \frac{F^2}{{L_D}^2}. \\ & \implies \boxed{ Q_s = -\sqrt{2} \varepsilon \frac{k_BT/q}{L_D} F. } \end{aligned} \]

微分电容¶

\[ \begin{split} C_s &= \pdv{(-Q_s)}{V_s} \\ &= \pdv{u} \sqrt{2} \varepsilon \frac{1}{L_D} F \\ &= \boxed{\sqrt{2} \frac\varepsilon{L_D} \pdv{F}{u}}. \end{split} \]

注意 \(F^2\) 比较规整，转化过去。

\[ \begin{split} \pdv{F}{u} &= \pm \pdv{u} \sqrt{F^2} \\ &= \frac{1}{2 F} \pdv{u}\qty(F^2) \\ &= \frac{1}{2 F} \qty(1-\exp(-u) + \frac{n_{p0}}{p_{p0}} \qty(1-\exp{u})) . \end{split} \]

故

\[ \boxed{ C_s = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\varepsilon}{L_D} \frac{\pdv{u} F^2}{F}. } \]

整个结构¶

前面只考虑了 Semiconductor，这里还要考虑 Insulator，看整个 MIS 结构的（微分）电容。

\[ C^{-1} = {C_\text{oxide}}^{-1} + {C_s}^{-1}. \]

实际情况¶

2022年5月26日。

\(V = V_\text{flat band}\) 是相当于原来的 \(V\) 为零。其中平带电压 \(V_{FB}\) 是以下因素的和。

功函数差：\(-V_\text{ms} = - \frac{W_m - W_s}{-q}\)。
绝缘层中电荷：\(- \int_\text{oxide} \rho \dd{x} / (\varepsilon_\text{ox} / x)\)。（\(C_\text{ox} = \varepsilon_\text{ox} / d_\text{ox}\)）
I–S 表面附近固定电荷：\(- Q_\text{fixed} / C_\text{ox}\)。

数据¶

熔点：Si \(\SI{1410}{\celsius}\)，Ge \(\SI{937}{\celsius}\)。
纯 Si 室温（\(\SI{300}{K}\)）电阻率 \(\SI{2\times 10^5}{\Omega\cdot cm}\)。
正四面体共价键键角 \(2\arccos\frac{1}{\sqrt3} = 109\degree 28'\)。
晶体结构：Si、Ge 金刚石，GaAs（一般）闪锌矿。
Si 单晶几何参数：晶格常数 \(\SI{543}{pm}\)，原子数密度 \(\SI{5.00 \times 10^{22}}{cm^{-3}}\)，原子半径 \(\SI{118}{pm}\)，原子体积占比 \(34.0\%\)。
电子惯性质量 \(\SI{9.109 \cross 10^{-31}}{kg}\)。
禁带宽度 \(E_{\text{gap}}\)：Si \(\SI{1.12}{eV}\)，Ge \(\SI{0.67}{eV}\)，GaAs \(\SI{1.43}{eV}\)。
Si 相对介电常数 \(12\)。
\(k_B \times(\SI{300}{K}) \approx \SI{25.9}{meV}\)。
室温下 Si 本征载流子浓度 \(n_\text{intrinsic} \approx \SI{1.0 \times 10^{10}}{cm^{-3}}\)，导带底有效状态密度 \(N_{\text{conductance}} \approx \SI{2.8 \times 10^{19}} {cm^{-3}}\)，价带顶有效状态密度 \(N_{\text{valency}} = \SI{1.1 \times 10^{19}} {cm^{-3}}\)。

后备箱¶

\(\SI{1}{cm^{{-3}}} = \SI{10^{6}} {m^{-3}}\)。

半导体物理¶

§0 固体物理¶

§1 电子状态¶

§3 载流子浓度¶

背景¶

一些公式¶

状态密度¶

Fermi—Dirac 分布¶

载流子浓度¶

杂质¶

非简并半导体的 \(E_F\)—\(T\) 关系¶

论证¶

总结¶

重制版¶

§5 非平衡载流子¶

一些公式¶

间接复合¶

§8 MIS 结构¶

理想情况¶

电荷分布模型¶

总电荷¶

微分电容¶

整个结构¶

实际情况¶

数据¶

后备箱¶

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