物理1¶

\[ \def\i{\mathrm{i}} \def\e{\mathrm{e}} % \def\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \def\dbar{\mathop{}\!\bar{} \hspace{-0.5em} \mathrm{d}} \def\const{\mathrm{Const.}} % \newcommand\SI[2]{#1\ \mathrm{#2}} % siunitx (package) % \def\arsinh{\operatorname{arsinh}} \def\arcosh{\operatorname{arcosh}} \def\artanh{\operatorname{artanh}} % \def\R{\mathbb{R}} \]

§2 刚体力学¶

转动惯量¶

2021年6月21日。

总质量均记为 $m$。

物体	转动轴	转动惯量
长 $l$ 的细杆	过一端点且垂直于杆	$\frac13ml^2$
半径为 $r$ 的实心圆柱	旋转对称轴	$\frac12mr^2$
半径为 $r$ 的球面	旋转对称轴	$\frac23mr^2$
半径为 $r$ 的实心球	旋转对称轴	$\frac25 mr^2$

§4 气体动理论¶

Boltzmann 常量 $k_B$，Avogadro 常量 $N_A$，理想气体常量 $R$。（$R = k_BN_A$）

宏观¶

2021年4月17日。

	按数量	按物质的量
总量	分子总数 $N$	总物质的量 $\nu$
密度	数密度 $n$	$\frac \nu V$
压强—温度、密度	$p=nk_BT$	$p=\frac\nu V R T$
压强、体积—温度	$pV=Nk_B T$	$pV=\nu RT$
每个自由度的能量	$\frac12 N k_B T$	$\frac12 \nu R T$

温度仅包括平动的三个自由度。

$\overline{v^2} \geq \bar v^2$¶

2021年4月18日。

\[ 0 \leq \overline{(v-\bar v)^2} = \overline{v^2} - \bar v^2 \]

另证：设概率密度函数为 $\operatorname{pdf} v$，累积分布函数为 $\operatorname{cdf} v$，则 $\frac{\d}{\d v} \operatorname{cdf} v = \operatorname{pdf} v$。于是

\[ \begin{split} \overline{v^2} &= \int_{\R^+} v^2 \operatorname{pdf}v \d v = \int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \\ &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} v^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) = \int_{\R^+}\int_{\R^+} u^2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ &= \int_{\R^+}\int_{\R^+} \frac{u^2+v^2}2 \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ &\geq \int_{\R^+}\int_{\R^+} uv \d(\operatorname{cdf}v) \d(\operatorname{cdf}u) \\ &= \int_{\R^+} u \d(\operatorname{cdf}u) \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \\ &= \left( \int_{\R^+} v \d(\operatorname{cdf}v) \right)^2 = \left( \int_{\R^+} v \operatorname{pdf}v \d v \right)^2 \\ &= \bar v^2 \end{split} \]

这将加权平均转化成了普通算术平均。

Maxwell 分布的特征速率¶

2021年5月28日。

设 $u= \sqrt\frac{RT}{M}$ ，则 $\text{PDF}\propto \exp\left( -\frac{u^2}2 \right)$。

最概然速率为 $\sqrt2 u$，平均速率为 $\sqrt{\dfrac 8\pi} u$，方均根速率为 $\sqrt3 u$，平均相对速率为 $\sqrt{\dfrac{16}\pi} u$。

§5 热力学基础¶

理想气体的几个准静态过程¶

2021年5月16日。

\[ \displaylines{ \dbar Q = \d U + \dbar W \\ \dbar W = p\d V,\quad pV = \nu RT, \quad U = \frac i2 \nu R T \\ \d S = \frac{\dbar Q}{T} } \]

$\d V \equiv 0, \dbar W \equiv 0$¶

\[ \begin{aligned} W &= 0 .\\ Q &= \Delta U = \frac i2 \nu R \Delta T = \frac i2 V \Delta p. \\ \Delta S &= \frac i2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ \end{aligned} \]

$\d p \equiv 0$¶

\[ \begin{aligned} W &= p\Delta V .\\ Q &= c_p^\text{mol} \nu \Delta T = \frac{i+2}2 \nu R \Delta T = \frac{i+1}2 p\Delta V. \\ \Delta S &= \frac {i+2}2 \nu R \cdot \Delta\ln T. \\ \end{aligned} \]

$\d T \equiv 0, \d U \equiv0$¶

\[ \begin{aligned} W &= \nu R T \cdot \Delta\ln V = -\nu R T \cdot \Delta\ln p .\\ Q &= W. \\ \Delta S &= \frac QT = \nu R \cdot \Delta\ln V = - \nu R \cdot \Delta\ln p. \\ \end{aligned} \]

$\dbar Q \equiv 0$¶

\[ \begin{aligned} W &= -\Delta U= -\frac i2\nu R \Delta T = -\frac{\Delta(pV)}{\gamma-1} .\\ Q &= 0. \\ \Delta S &= 0. \\ \end{aligned} \]

状态方程等：

\[ \displaylines{ pV^\gamma = \const \\ \gamma = 1 + \frac 2i,\quad i = \frac2{\gamma-1}. } \]

杂项¶

\[ \Delta S = \int\frac{\dbar Q}T = \int\frac{c^\text{mol} \nu \d T}T = c^\text{mol} \nu \cdot \Delta\ln T \]

可逆过程¶

2021年6月22日。

正过程前后，系统、环境允许有变化；
只是相应逆过程能把这些变化都复原。

（书上写得比较乱）

物理光学¶

干涉与衍射¶

2021年6月7日。

干涉、衍射都是惠更斯-菲涅尔原理的推论，只是干涉中子波源有限多，衍射中无限多。在字面上，“干涉”侧重于H-F原理中的“叠加”，“衍射”侧重于“各个方向”。其实两个现象往往是同时发生的：杨氏双缝干涉实验中，若双缝处不发生衍射，则两缝出射光根本不相交，不可能干涉；单缝远场衍射中，若经过单缝不同处的光不发生干涉，则半波带法无从下手，无法形成衍射条纹。在光栅衍射中，这两种现象更是相伴而生了。

慕课的一些题目¶

存在无法访问的链接

“抱歉，课程本学期已结束。老师已将学期的查看权限关闭，你无法再查看本学期的内容。”

拉小船¶

2021年3月4日，第一周单元作业，2。

在堤岸顶上用绳子拉小船。设岸顶离水面的高度$h$为20m，收绳子的速率$u$为3m/s，且保持不变，若当船与岸顶的距离$x$为40m时开始计时，则5秒时小船速率$v$与加速度大小$a$各几何？

解¶

记剩余绳长为$l$，绳仰角为$\theta$。

易知所求时刻 $x = \SI{15}{m}, l= \SI{25}{m}, \cos\theta = 0.6, \sin\theta = 0.8$ 。

（就不用向量了，这里它没什么好处。）

初等¶

→“加速度求法”。

画图，建立两组基：一组为水平-竖直参考系，一组为“船沿绳收缩”-“船绕人旋转”参考系。前者易描述船，后者易描述绳。

先用第一组基判断船的速度、加速度方向，然后用第二组基写出绳末端（相当于船）的速度（$u$）、法向加速度（$\dfrac{v^2\sin^2\theta}l$）。利用各参考系中合速度一致，可得

\[ \displaylines{ v\cos\theta = u \\ a\cos\theta = \frac{v^2\sin^2\theta}l } \]

故 $v=\SI{5}{m/s}, a = \SI{\frac{16}{15}}{m/s^2}$

导数¶

→“加速度求法”的1楼、“加速度”。

由勾股定理，$x=\sqrt{l^2-h^2}$ 。又 $\dfrac{\d l}{\d t} = u$

\[ \displaylines{ \therefore v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{\sqrt{l^2-h^2}}u \\ \therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{\sqrt{l^2-h^2}u - l \frac{lu}{\sqrt{l^2-h^2}}}{l^2-h^2}u = \frac{l^2-h^2 - l^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} u^2 = -\frac{h^2u^2}{(l^2-h^2)^{\frac32}} } \]

代入数据计算，再取绝对值即可。

微分¶

对勾股定理 $l^2 = x^2 + h^2$ 微分，得 $2l\d l = 2x \d x$，即 $\d x = \dfrac lx \d l$，故

\[ \displaylines{ v = \frac{\d x}{\d t} = \frac{l}{x} \frac{\d l}{\d t} = \dfrac{lu}{x} } \]

变形为 $vx=lu$ ，微分得

\[ \displaylines{ v\d x + x\d v = u\d l \\ \therefore \d v = \frac{u\d l - v\d x}{x} \\ \therefore a = \frac{\d v}{\d t} = \frac{u\frac{\d l}{\d t} - v\frac{\d x}{\d t}}{x} = \frac{u^2 - v^2}{x} } \]

之后类似导数法。

三角形周长质心¶

2021年3月20日，第三周单元测验。

三角形周长的质心是中点三角形的内心。

证明：对于 $\triangle ABC$，设三边 $a,b,c$ 的中点分别为 $E,F,G$，那么

\[ CoM = \frac{aE+bF+cG}{a+b+c} = \frac{eE+fF+gG}{e+f+g} \]

另：

\[ \begin{split} CoM &= \frac{a\frac{B+C}2 + b\frac{C+A}2 + c\frac{A+B}2}{a+b+c} \\ &= \frac{(a+b)C + (b+c)A + (c+a)B}{2(a+b+c)} \\ &= \frac32 \frac{A+B+C}{3} - \frac12 \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ &= \frac{3G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ &= G_{\triangle EFG} +\frac{G_{\triangle ABC} - I_{\triangle ABC}}{2} \\ &= I_{\triangle EFG} \\ \end{split} \]

内心的表达式¶

对于 $\triangle ABC$，设一点

\[ \displaylines{ I= \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} \\ \begin{split} \therefore I-A &= \frac{bB+cC - (b+c)A}{a+b+c} \\ &= \frac{b(B-A) + c(C-A)}{a+b+c} \\ &= \frac{\frac{B-A}c + \frac{C-A}b}{bc(a+b+c)} \\ &= \frac{\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|} }{bc(a+b+c)} \\ &\parallel \text{$\angle BAC$的平分线} \end{split} } \]

同理可得，$I-B,I-C$ 也是另外两角的平分线。

故$I$就是 $\triangle ABC$ 的内心。

伪卡诺循环¶

2021年5月1日，第九周作业。

如图，理想气体经历循环（等压膨胀–绝热膨胀–等压压缩–绝热压缩）。已知$T_b,T_c$，求效率$\eta$。

仅a→b吸热，仅c→d放热，故 $1-\eta = \dfrac{Q_{cd}}{Q_{ab}}$。由于这两个过程都是等压过程，热容相等，故 $Q\propto \Delta T$，$1-\eta = \dfrac{T_b-T_a}{T_c-T_d}$。

由于b→c，d→a都是绝热过程，均满足

\[ \left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{1-\gamma} \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^\gamma = 1 \]

因为 $p_b=p_a,p_c=p_d$，所以

\[ \frac{T_b}{T_c} = \frac{T_a}{T_d} = \frac{T_b-T_a}{T_c-T_d} \]

所以

\[ \eta = 1-\frac{T_b}{T_c} \]

注意，这不是卡诺循环，$T_b,T_c$也不是工作温度的上下限。

负热容¶

2021年5月3日，讨论10：热容。

理想气体热容一定是正值吗？

理想气体等温过程的热容是什么？

热容是否可以为负值？若可以，在怎样的过程中热容是负值？

0/0，无意义，或者说∞。

可负。Q = ΔU + W = i/2 νRΔT + W，故 c = Q/ΔT = iνR/2 + W/ΔT，W/ΔT 一项其实是任意的。具体地说，理想气体膨胀得比绝热膨胀还夸张时，c就是负的。一楼同学举了例子：热带气旋。

等温膨胀不违反热力学第二定律¶

2021年5月3日，讨论12：热力学第二定律的讨论。

理想气体等温过程内能不变，系统从外界吸收的热量全部转换为有用功，效率为100%。这违反热力学第二定律吗？为什么？

不违反。从功热转换的角度，该过程引起了其他变化（体积增大），不违法“将热全部转化为功，而不引起其他变化”。从永动机的角度，这只是半个循环；若考虑整个循环，则为把气体压缩回原状，外界要对系统做功，一正一负，整个过程的功就变少了，效率达不到一，并非第二类永动机。

物理实验¶

独立课程

“物理实验”是独立于“物理”的专门课程。

由于“物理实验”的总结、随记形式复杂，较难适应网页，故未转换到这个网站。这里只是简记几段，附在“物理”之后——从某些意义讲，物理实验确实是 metaphysics。

包含因子¶

2024年4月8日。

随机误差本来有一个集中在零附近的分布（均匀分布/正态分布/……），但平常无需如此精细到概率密度，只要用单个数字表征即可。

这个数字有两种体系：

一种是标准差uncertainty $\sigma$（不确定度）或者方差，这是物理实验后面要用的，数学关系较和谐；
另一种是允差insurance $\Delta$（这个词有保证、保险的意思），这是仪器出厂时定的，定义比较武断。

两种体系并不等价，但选好随机误差的分布模型、置信度时，两种体系可用包含因子 $k$ 相互转换。

下面举两个例子。

认为随机误差服从从 $-a$ 到 $a$ 的均匀分布。一方面定积分能算出标准差 $\sigma = a / \sqrt{3}$，另一方面我们可100%保证误差在 $\Delta = a$ 以内，于是 $\Delta/\sigma = \sqrt{3} \eqqcolon k$。

认为随机误差服从均值为零、标准差为 $σ$ 的正态分布。数值积分能推出，误差在 $±1.645σ$ 之间的概率约为95%，于是 $k \coloneqq \Delta/\sigma \approx 1.645$。

注意¶

注意向量的方向。
弹簧的弹性势能与伸缩量而不是长度有关。
区分直径与半径。
$\dfrac\omega{\SI{}{rad/s}} = \dfrac{2\pi n}{\SI{}{r/min} \times \SI{60}{s/min}}$，有个“60”。
对于概率密度为$f$的速率分布，部分平均值 $\bar v_D = \frac{\int_D v f\d v}{\int_D f\d v}$，注意分母与$D$有关。
分清“改变到多少”与“改变了多少”。
区分“过质心轴”的转动惯量和一般轴的转动惯量。
求熵变时注意 $\dbar Q$ 的正负。
区分波形图和某点的振动图象，以及速度随时间的图象。
记得重力。
用等厚干涉观察表面缺陷时，区分空气突出和工件突出。
区分真空中的波长与介质中的波长，以及它们与光程的关系。
注意内能包括分子转动动能。

物体	转动轴	转动惯量
长 \(l\) 的细杆	过一端点且垂直于杆	\(\frac13ml^2\)
半径为 \(r\) 的实心圆柱	旋转对称轴	\(\frac12mr^2\)
半径为 \(r\) 的球面	旋转对称轴	\(\frac23mr^2\)
半径为 \(r\) 的实心球	旋转对称轴	\(\frac25 mr^2\)

	按数量	按物质的量
总量	分子总数 \(N\)	总物质的量 \(\nu\)
密度	数密度 \(n\)	\(\frac \nu V\)
压强—温度、密度	\(p=nk_BT\)	\(p=\frac\nu V R T\)
压强、体积—温度	\(pV=Nk_B T\)	\(pV=\nu RT\)
每个自由度的能量	\(\frac12 N k_B T\)	\(\frac12 \nu R T\)