非平稳信号处理¶
§2 典型的时频分析¶
短时Fourier变换面面观¶
2024年11月28日。
- 以加窗单频信号为基。
- 先乘窗，再以单频信号为基（Fourier变换）。
- 先解调指定频率，然后低通滤波。
- 先带通滤波选出指定频率，然后解调以平衡相位。
- 在时频平面上划分栅格。
其实这些理解大多比较片面，有些并非是理解变换整体，而是理解变换结果里的一点。
Wigner–Ville分布¶
2024年11月28日。
波函数 \(ψ\) 不可观测；density matrix \(ρ\) 可观测，并且包含了所有可观测的信息。\(ψ\) 只能描述纯态，\(ρ\) 也能描述混态。
对于纯态，\(ψ\) 到 \(ρ\) 大致是二次函数，\(ρ\) 相当于 \(ψ\) 的瞬“时”自相关（对于位置表象，“时”是空间），即 \(ρ = \dyad{ψ}\)。对于若干纯态经典叠加成的混态，\(ρ\) 是每个纯态的density matrix按概率的线性组合。
注意 \(ρ\) 是矩阵，相当于二元函数。\(ρ\) 的一点涉及 \(ψ\) 在两处的值，因此 \(ρ\) 有这两处的中心、差两个自变量（分别对应主对角线和反对角线方向）。将差这个自变量Fourier变换（对于位置表象，变换完是动量），就是Wigner–Ville分布。
一般的概率分布满足概率和为一，其中“和”是一范数。而对于复函数 \(ψ\)，“和”是二范数。Wigner–Ville分布可看作相空间内的分布，也可写出Schrödinger方程那样的演化方程；但它的值域只能保证在实数范围内，并不保证非负，因此只叫 quasiprobability distribution。
§3 Cohen类时频分布¶
2024年11月28日。
\(ν ↔ t,\ τ ↔ f\)，则瞬时相关 \(R_{tτ}\)、Wigner–Ville分布 \({R_t}^f\)、模糊函数 \({R^ν}_τ\)、点谱相关 \(R^{νf}\) 是Fourier变换对。
很多各种时频分析工具都可理解为给 \({R^ν}_τ\) 乘窗。例如Choi–Williams分布就是乘 \(e^{-j (2\pi ντ)^2 / σ}\)。