近代数学基础

\[ \def\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \]

课程名称

本课讲的其实是“现代”数学的基础。

• 近代数学一般是指高等数学，可分为代数、几何、分析。
• 现代数学则指十九世纪末以来的数学，它用公理体系和结构观点统观数学，标志是集合论、非欧几何、非交换代数、分析的算术化。

集合与映射

2025年5月14日。

• 集合
• 映射
• 对等、势、可列、不可列
• 直线上的点集：确界、极限，确界原理
• 稠密
• 实数列的极限理论
  • 闭区间套定理
  • Bolzano–Weierstrass定理（有界数列必有收敛子列）
  • Cauchy收敛定理
  • 有限覆盖定理
• 实数上的连续函数：函数和函数列的一致连续

代数系统

2025年5月14日。

• 群
  • 内外运算
  • 半群、群
  • 对称群
  • 子群、同构
• 环、域

测度与积分

2025年5月14日。

测度 ≠ 度量

测度是 measure，度量是 metric。

度量空间

概念

2025年5月14日。

• 度量、收敛
• 度量空间中的点集：内点、开集，聚点、闭集
• 连续映射、开映射
• 可分
• 完备
• 压缩映射原理（Banach不等点唯一存在定理）

评论

2025年5月16、17日。

导集与闭包的多种刻画：一点邻域与集合的相交情况，集合中点列能收敛的范围。

连续的多种刻画：ε–δ 作为距离、收敛、一点之像的邻域的原像总能覆盖该点的邻域、开集的原像总开（换成闭集同样成立）。

第二类Volterra积分方程解的存在性

2025年5月17日。

Volterra Integral Equation of the Second Kind -- from Wolfram MathWorld

用压缩映射原理分析关于 \(\phi\) 的积分方程

\[ \phi (x) \equiv f(x) + \int K(x,y) \phi(y) \dd y \]

的解的存在性，其中 \(\abs{K}\) 有上界 \(M\)。

从等式右侧到左侧是个映射，其不动点就是原方程的解。若它是压缩映射（采用 \(L^\infty\) 度量的连续函数空间），则存在不动点。因此积分方程解的存在性归结为映射的压缩性。

• 若积分区间为固定的 \([a,b]\)，则 \(M\) 必须充分小（小于 \(\frac{1}{b-a}\)），才能保证有解。

• 若积分区间为变化的 \([a,x]\)，则 \(M\) 只要存在就能保证有解。

  因为无论 \(M\) 多大，都能保证方程在开始的 \(1/M\) 长度内有解，然后一段一段延长即可。

代数与拓扑相容的空间

概念

2025年5月14日。

• 赋范线性空间，依范数收敛，Banach空间
• \(l^p\) 与 \(L^p\) 空间
• 内积空间，平行四边形法则、Cauchy–Schwarz不等式，Hilbert 空间
• 正交集、正交规范基，Bessel 不等式、Parseval 等式
• 最佳逼近、投影定理

范数与内积

2025年5月16日。

范数升级为内积，关键在于内积是二元函数，这让线性的意义扩大了。范数的三角不等式到了内积，就是 Cauchy–Schwarz 不等式。

Bessel 不等式与 Parseval 等式

2025年5月16日。

对于内积空间中的向量 \(x \in X\) 和正交规范向量之集合 \(\{e_\alpha\}_\alpha\)（其中指标 \(\alpha\) 可有无穷多），有如下结论。

1. 若限制 \(\alpha\) 只取前有限多个指标，则向量 \(0\)、\(\sum_\alpha (x, e_\alpha) e_\alpha\)、\(x\) 构成直角三角形，三条边的范数满足勾股定理。

2. 若逐渐放松对 \(\alpha\) 的限制，由于 \(\norm{\sum_\alpha (x, e_\alpha) e_\alpha}^2 = \sum_\alpha \abs{(x, e_\alpha)}^2\) 一直被固定的 \(\norm{x}^2\) 限制，它无法无限制地增长。

   事实上，由可数集的可数并仍可数，能论证 \((x, e_\alpha)\) 最多只有可数项非零。

3. 现在完全不再限制 \(\alpha\)，考虑数的和式 \(\sum_\alpha \abs{(x, e_\alpha)}^2\)。因为其中只有可数项非零，它是个合法的级数。由极限的保号性，它收敛且不超过 \(\norm{x}^2\)，这称作 Bessel 不等式。

4. 继续考虑向量的和式 \(\sum_\alpha (x, e_\alpha) e_\alpha\)。如果其中有无穷项非零，它未必仍在空间中。不过根据系数的级数 \(\sum_\alpha \abs{(x, e_\alpha)}^2\) 收敛，能证明向量的和式必然 Cauchy 收敛。

5. 如果这空间是 Hilbert 空间，完备，那么向量的和式收敛。于是向量 \(0\)、\(\sum_\alpha (x, e_\alpha) e_\alpha\)、\(x\) 仍在空间内构成直角三角形，相应勾股定理仍成立。

6. \(\{e_\alpha\}_\alpha\) 选得好时，一条直角边退化为点，这时 \(\norm{x}^2 = \sum_\alpha \abs{(x, e_\alpha)}^2\)，这称作 Parseval 等式。

   事实上，以下三条等价。

   • \(\{e_\alpha\}_\alpha\) 构成基（\(x\) 可用它线性表示）
   • \(\{e_\alpha\}_\alpha\) 完全（其正交补为零）
   • Parseval 等式成立

最佳逼近

2025年5月16日。

空间中一点到一子空间的最近点称作最佳逼近点。这是个拓扑概念，只需度量就能定义；而内积赋予了几何结构，最佳逼近点会有垂直性质。

若父空间是内积空间，子空间是线性空间（部分结论可能不需要），则

• 投影若存在，则唯一，而且是最佳逼近点。
• 最佳逼近点若存在，则唯一。（⇐ 平行四边形法则）
• 如果子空间闭，那么……
  • 最佳逼近点若存在，则就是投影。（⇐ 二次函数顶点）
  • 若父空间完备，则最佳逼近点存在。（⇐ 子空间内的 Cauchy 列能收敛到子空间内）

由此可得投影定理：若父空间完备，子空间闭，则投影唯一存在，并且是最佳逼近点。

算子与泛函

概念

2025年5月14、16日。

• 算子线性、有界、连续

  线性赋予了代数结构，于是一处的性质可以外推到别处。从而一点连续、处处连续、全局有界（由于线性，值域不可能有界，此处“有界”指放大倍数有界，即算子的范数有界）等价。

• 线性有界算子构成赋范线性空间，算子陪域的完备性蕴含了算子空间的完备性

注意

• 区分正交规范集与普通的向量集合。
• 空集又开又闭。
• 群、度量空间等要求非空，环要求至少有两个元素。
• \(L^p\) 或 \(l^p\) 中的元素要求范数有限。
• 区分充分条件与必要条件。
• 同构要求双射。
• Lebesgue 测度的 \(p\) 可以无穷。
• \(L[a,b]\) 和 \(L^1 [a,b]\) 意义相同，但 \(C[a,b]\) 和 \(C^0 [a,b]\) 意义相同。

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