微波电路与系统¶
无源器件和半导体器件¶
Smith 圆图上的变换¶
2023年3月8日。
\(z = \frac{Z_\text{in}}{Z_c}\)，\(\Gamma = \frac{z-1}{z+1}\)。（一种 Möbius 变换)
| 情况 | \(z\) | \(\Gamma\) |
|---|---|---|
| 短路 | \(0\) | \(-1\) |
| 开路 | \(\infty\) | \(1\) |
| 匹配 | \(1\) | \(0\) |
| 纯驻波 | \(j\times\R\) | \(e^{j\times[0,2\pi)}\) |
| 变换 | \(\Gamma\) 的效果 | 解释 |
|---|---|---|
| 沿传输线移动 \(l\) （\(+l\) 为“源→负载”方向） |
绕 \(\Gamma = 0\) 旋转 \(2\beta l\) | 入射、反射波分别转动 \(\pm\beta l\)。 |
| 串联纯电抗 | 沿内切于 \(\Gamma=1\) 的圆转动 | \(z\) 变化纯虚数 |
| 串联纯电阻 | 沿正交于 \(\Gamma=1\) 的圆转动 | \(z\) 变化实数 |
| 并联纯电抗 | 沿内切于 \(\Gamma=-1\) 的圆转动 | \(z^{-1}\) 变化纯虚数 |
| 并联纯电阻 | 沿正交于 \(\Gamma=-1\) 的圆转动 | \(z^{-1}\) 变化实数 |
Möbius 变换的复合
\(z \leftrightarrow \Gamma\)，则 \(z^{-1} \leftrightarrow -\Gamma\)。
用微带线实现集总电容、电感¶
2023年3月7–8日。
对于宽 \(W\)、厚 \(d\) 的平板传输线，（传播方向）单位长度的电容、电感
平板传输线理想模型
电磁场方向、传播方向相互垂直。电磁场局限在平板之间的长方体中，并且均匀分布。
此时 \(E d = U\)（电势定义），\(H W = I\)（安培环路定律）。
从而特性阻抗
以及传播速率
微带¶
由物理参数，可得以下近似。
| \(W/d\) | \(Z_c\) | 短线双端口特性 |
|---|---|---|
| \(0^+\) | \(+\infty\) | 仅有串联电感 |
| \(+\infty\) | \(0^+\) | 仅有并联电容 |
短线
以上“短线”是指传播方向上的长度小于 \(\frac18 \lambda\)。
也可从转移参数（输出电压电流 ↦ 输入电压电流）理解。
取 \(+z\) 为“源→负载”方向，\(\theta = \beta z\)，则微带线的转移参数为
观察
- 行列式为一 ⇔ 倒易（reciprocal）。
- 主对角线上两数相等 ⇔ 对称。（取逆再统一正方向后不变）
- 主对角线纯实，反对角线纯虚 ⇐ 倒易 ∧ 无耗。
- 特征值为 \(\exp(\pm j\theta)\)，特征向量分别是 \(U = \pm I Z_c\)。
对比串联电感、并联电容的转移参数
即得 \(\theta \approx 0\)，\(Z_c \to +\infty\)、\(Z_c \to 0^+\) 下的近似。
微带支线¶
除了用作双端口器件，还可用作支线（支线一端短路或开路，另一端接入电路），这相当于与负载并联一段传输线。（传输线的输入阻抗可由 Smith 圆图判断）
P–N结¶
2023年3月25–26日。
结与二极管
应当区分结（junction）与二极管（diode），前者更微观。然而这里只写大致原理，并不太区分。
P、N区交界处（空间电荷区）扩散作用导致平衡时出现 N→P 方向内建电场。外部加正向电场（P→N）时减弱内建电场，导通；加反向电场时加强空间电荷区，截止。
Shockley diode equation:
其中 \(u = q V / \qty(k_B T)\)，有时还要除以一个（略大于一的）修正因子。
ECE531-Fall-19-Lecture-07-PN Junctions Electrostatics.pdf(broken 💔).
这很大程度上是经验公式，不过也能推导。考虑突变结，采用耗尽层假设（空间电荷区多子耗尽，电荷密度分别等于杂质浓度，从而电荷分别均匀分布），电势在突变处两侧分别为半抛物线状分布。
势垒区电容
势垒区电势为半抛物线状分布，\(\abs{Q} \propto \sqrt{\abs{V_\text{势垒}}}\)，\(C \propto 1/\sqrt{\abs{V_\text{势垒}}}\)。
扩散—漂移运动：
- 扩散取决与浓度负梯度（与 \(E_v - E_F\) 或 \(E_F - E_c\) 负梯度一致，参考“载流子浓度公式记忆技巧”中的箭头）。
- 漂移取决于电势负梯度（电子的电势能、真空能级、\(E_c\) 或 \(E_v\) 之间只差固定常数，负梯度一致）。
- 两种运动共同效果是 electron/hole exchange is determined by the relative position of the Fermi energies。
无外电场时，平衡后两区 \(E_F\) 一致，内建电场 N→P，能带（导带底、价带顶或真空能级）P区高于N区。这个电势差记作 \(V_D\)。
有偏压时，分析恒定电场：
- 电势仍降落在势垒区（上图中空白区）上，P区、N区远处 \(E_F\) 的差等于 \(-qV\)，远处 \(E_c\)、\(E_v\) 或真空能级的差则是 \(q(V_D - V)\)。
- 势垒区由于持续注入非平衡载流子，Fermi 能级分化为两个准 Fermi 能级，\(E_{F,p},\, E_{F,n}\) 都不随空间变化。
- 与其同时，这些非平衡载流子逸出到扩散区（上图中空白区以外），若这里只考虑复合、扩散，则载流子浓度（从边界到远处）按指数变化到平衡浓度。
- 由于非平衡载流子的影响总以少子为主，可认为扩散区多子的准 Fermi 能级不随空间变化。
扩散区电容
扩散区 \(Q \propto e^u\)，\(C \propto e^u\)。
现在分析电流。
-
势垒区没有合电流（因为准 Fermi 能级无梯度），但其边界决定了扩散区情况。
势垒区两端电势能之差等于 \(q(V_D - V)\)，\(E_{F,n} - E_{F,p} = qV\)。
再看载流子浓度。对每一种载流子，在它是多子的一侧，它的浓度就是平衡时浓度；在它是少子的一侧，根据 \(E_{F,n} - E_c\) 或 \(E_v - E_{F,p}\) 的情况，按 Maxwell–Boltzmann 分布，它的浓度是另一侧浓度再乘 \(\exp(q(V_D-V) / (k_B T))\)。
也可直接考虑每一侧。对每一种载流子，在它是少子的一侧，平衡时 \(E_F\) 就等于这里多子的准 Fermi 能级，因此它的浓度等于平衡时浓度再乘 \(\exp(\Delta E_F / (k_B T)) = \exp(qV / (k_B T)) \eqqcolon e^u\)。
总之，边界处少子有非平衡载流子，浓度等于平衡时浓度再乘 \((e^u - 1)\)。
-
扩散区没有漂移电流（因为电势无梯度），但非平衡载流子指数分布，它有扩散电流。
指数分布时，扩散电流密度正比于非平衡载流子浓度。（系数是 \(qD/L\)，其中 \(D,L\) 分别是这种载流子的扩散系数、扩散长度）
因此，\(I \propto e^u - 1\)。
一言以蔽之
- 正偏压下，势垒降低，势垒区持续注入非平衡载流子，扩散区非平衡少子形成正向扩散电流，导通。
- 反偏压下，势垒升高，Fermi 能级仍然分化，但效果是减少势垒区的载流子，扩散区非平衡少子仍形成反向电流，但这点儿载流子太少了，截止。反偏压较高后，势垒区几乎完全没有载流子，再升高势垒也没用，反向电流于是饱和了。
总电容
电荷有扩散区、势垒区两部分。两种电容都随电压变化。正偏时扩散区电容很大，为主；反偏时扩散区电容很小，势垒区电容为主。
击穿
反向电压较高时，反向电流可能突破饱和。
- 热击穿：反向电流、电压都较大，电热效应明显，再加上热激发载流子恶性循环，最终烧毁。
- 电击穿
- 雪崩击穿（又名硬击穿）：反向电压较高时，势垒区电场很强，载流子动能很高，碰撞电离增加载流子浓度，从而反向电流雪崩式增大。
- Zener 击穿（又名软击穿）：P、N区都重掺杂时，空间电荷区很薄就杂质就能提供足够多电荷达到平衡，因而反向电压不太高时内建电场就很强，存在内部场致发射，增大反向电流。
M–S结¶
2023年3月26日，2023年6月7日，2023年6月10日。
Metal–Semiconductor 结又名 Schottky 结，制成的二极管叫 Schottky barrier diode（SBD）。
M–S结中金属内部均一，接触表面有势垒，半导体内部有缓一些的势垒。外偏压影响半导体内部势垒，决定载流子浓度分布，形成整流特性；接触表面的势垒因钉扎（半导体表面态密度非常高，电子填不过来）而几乎不变。
与P–N结不同，M–S结有整流特性是因为多子在表面附近的势垒，与非平衡载流子、少子关系不大。因此与比P–N结相比，M–S结一般电容更小（没有少子积累），反向饱和电流更大。输运原理不同也导致M–S结略更偏离 \(e^u -1\)，正向导通电压更小。
| P–N结 | M–S结 |
|---|---|
| 少子器件，电荷有存贮 | 多子器件，载流子无存贮 |
| 正偏扩散电容为主，反偏势垒电容为主 | 只有势垒电容 |
| 只适用于低频 | 高频也可用 |
| 正向导通电压 ≈ 0.6 V | ≈ 0.3 V（想伏安特性曲线） |
| 势垒更薄，反向饱和电流更大，击穿电压更小 | |
| 两种掺杂，两端都要 Ohm 接触处理 | 制造简单 |
制作半导体器件时，金属引线与半导体天然形成的M–S结有害，这时可在半导体表面附近重掺杂，减薄势垒，实现欧姆接触。
各种二极管的特性¶
2023年3月26日，2023年6月7日，2023年6月8日。
-
变容管
主要利用P–N结反向工作时的微分电容特性，可用作调谐。
对于突变结，\(C \propto 1 / \sqrt{\phi - V}\)，其中 \(\phi\) 是P–N结接触电压。缓变结的\(C\)对\(V\)更不敏感，\(C \propto 1 / \qty(\phi - V)^m\)，\(m \approx \frac13\)。
实际还能制造出 \(m = 2\) 的超突变结（用于线性调频：\(\omega \propto 1 / \sqrt{C} \propto \phi - V\)），以及 \(m \approx 0^+\) 的阶跃恢复结（正向导通，反向固定电容）。
-
阶跃恢复管（step recovery diode）
P⁺–N–N⁺。正偏时低阻，同时在N–N⁺界面积累大量电荷，大电容；反偏时高阻，同时仅P⁺–N势垒区有小电容。非平衡少子寿命很长，与一般P–N结不同。
正向导通时，电压如普通二极管一样变化不大；由正偏转反偏时（注意因载流子寿命长，模式切换明显滞后于输入电压变化），电容突然变小，而电荷来不及转移，故输出电压会反向脉冲；重新正偏后恢复。
-
P⁺–I–N⁺管
低频时，具有与P–N管类似的整流特性，但耗尽层人为加厚，电容更小且更恒定，反向击穿电压更高。
高频时I区复合跟不上，是否导通取决于低频分量及相应整流特性。——可利用低频信号控制高频信号通断。
-
雪崩管（又名 Read 管、放大芯片）
全名 impact ionization avalanche transit-time（IMPATT）diode。
原初版为N⁺–薄P–厚I–P⁺，可在N⁺–P发生雪崩，然后向P⁺渡越。这种管可实现放大，且峰值落后于输入交变电压，射频下对外可呈现负阻。
实用版的薄P–厚I可合并为一个区。为让两种载流子都漂移，还可对称过去做P⁺–P–N–N⁺（双漂移区）。
大功率时，还可改用 trapped plasma avalanche triggered transit（TRATT）管，P⁺–N–N⁺，整个N区雪崩击穿。
-
转移电子效应管（transfer electron diode, TED）
第三代半导体产物。利用多能谷材料的 Gunn 氏效应天然产生振荡。（这种二极管无需结）
因偶极畴的存在，电压增加、减小时伏安特性不完全相同：增加时的阈值电压会比减小时的保持电压略高。
频率变换器¶
一般原理¶
2023年4月15日，2023年6月8日。
-
下变频：(source, local) ↦ out
一般用阻性变频器，核心是非线性电阻，如 Schottky 势垒二极管。
-
上变频：(source, pumping) ↦ out
一般用参量变频器，核心是非线性电容，如变容管及阶跃恢复二极管。
线性器件无法改变频率（频域仅仅是相乘，不能搬移），变换频率关键在于非线性。
举个例子。某一器件的输入输出关系 \(u_\text{in} \mapsto u_\text{out}\) 非线性，想实现下变频 \((u_\text{source},\ u_\text{local}) \mapsto u_\text{out}\)。
- 用线性电路实现 \(u_i = u_l + u_s\)。
- 只考虑小信号（\(u_s \ll u_l\) 且 \(u_s\) 高阶项可忽略），则 \(u_i \mapsto u_o\) 微分关系只由 \(u_l\) 决定。比如 \(\dd{u_o} = g \dd{u_i}\)，其中 \(g\) 与 local 有关而与 source 无关。
- 至此，\(\dd{u_o} = g \dd{u_i} = g \times u_s\) ——输出（的微分）是 \(g\)（取决于 local）与 \(u_s\)（source）的积。时域相乘对应频域卷积，可搬移频谱，变换频率。
必须非线性
若是线性器件，虽仍有相乘，但 \(g\) 也不随 local 变化……于是工作不了。
大信号也差不多
大信号（\(u_s\) 高阶项不可忽略，但仍有 \(u_s \ll u_l\)）时，微分关系为 Taylor 级数，形式仍是“local、source 决定量”之积（的线性组合）。
再仔细考察上述关系。设 \(u_l\) 单频 \(\omega_l\)，则 \(g\) 也具有相同周期，频谱包含 \(\Z \omega_l\)。
都是时间的函数
\(g\) 是 \(u_l\) 的函数，\(u_l\) 是时间 \(t\) 的函数。为方便 Fourier 分析，我们把 \(g\) 也看成 \(t\) 的函数。
各频率成分如下表。
| \(g\) | \(u_s\) | \(\dd{u_o} = g \times u_s\) | \(u_o\) | 称呼 |
|---|---|---|---|---|
| – | – | – | local 本身 | 本振 |
| \(\pm \Z^+ \omega_l\) | \(\pm \omega_s\) | \(\pm(\omega_s + \Z^+\omega_l)\) | （同左） | 和频 |
| \(0\) | \(\pm \omega_s\) | \(\pm\omega_s\) | （同左） | 信号基波 |
| \(\mp \omega_l\) | \(\pm \omega_s\) | \(\pm(\omega_s - \omega_l)\) | （同左） | 所需中频 |
| \(\mp 2 \omega_l\) | \(\pm \omega_s\) | \(\mp(2 \omega_l - \omega_s)\) | （同左） | 镜像 |
| \(\mp (3+\N) \omega_l\) | \(\pm \omega_s\) | \(\mp((3+\N)\omega_l - \omega_s)\) | （同左） | 更高次差频 |
频率大小关系
下变频时，\(\omega_s \gtrsim \omega_l \gg \omega_s - \omega_l\)。
下变频器¶
2023年6月8日。
实际下变频器都会设计对称性保证输出中某些频率成分为零，提高效率。具体来说，采用多个特性一致的二极管，输出前将这些路相减，称作“平衡”混频器。（单平衡一对二极管，双平衡两对）
另外，由于这种设计采用多管，同等输入下，每一管分担的电压小了，于是提高了动态范围。
-
90°相移单平衡
有 1,2 两个反接的二极管。
\[ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -j \\ j & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\text{source} \\ u_\text{local} \end{bmatrix}. \]\(u_1 \mapsto i_1\)，\(u_2 \mapsto i_2\)，\(i_\text{out} = i_1 - i_2\)。
source 的 \(s (\in \Z)\) 次谐波与 local 的 \(l (\in \Z)\) 次谐波对应输出
\[ {u_s}^s (-j u_l)^l - (j u_s)^s (-u_l)^l = {u_s}^s {u_l}^l (-j)^l \times (1 - j^s (-j)^l). \]当 \(j^s (-j)^l = 1\)，即 \(s - l \in 4\Z\) 时，这一项为零——输出中有 1/4 的频率成分被平衡掉了。
具体分析几例。
- 输入 \(\omega_s, \omega_l\)，\((l,s) = \pm (1,-1)\) 对应输出 \(\pm(\omega_s - \omega_l)\)，为所需中频。由上式，系数为 \(-1 \times (j - (-j)) = 2j\)，不为零。因此正常输入时，输出中存在所需中频，并且强度还是无平衡单端版本的两倍。
-
输入 \((2\omega_l - \omega_s, \omega_l)\)，\((l,s) = \pm (1,-1)\) 对应输出 \(\mp(\omega_s - \omega_l)\)，还是所需中频。同理系数不为零。因此输入端在镜像频率有噪声时，这些噪声在输出端会混入所需中频——无法抑制外来镜像干扰。
镜像频率
“镜像”一名因镜像、本振、源的频率成等差数列。混频器仅凭算术关系，无法区分它与正常输入，要想抑制这种噪声，必须在混频器前滤波。
- 输入 \(\omega_s, \omega_l\)，\((l,s) = \pm (1,1)\) 对应输出 \(\pm(\omega_s + \omega_l)\)，为和频。由上式，系数为零，抵消掉了。
另外还可考虑本振引入的噪声。在 local 端同时输入 \(\omega_l, \omega_n\)，而 source 端置零。
这时关系变为
\[ \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -j & -j \\ -1 & -1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\text{noise} \\ u_\text{local} \end{bmatrix}, \]输出则是
\[ (-j u_n)^n (-j u_l)^l - (-u_n)^n (-u_l)^l = {u_n}^n {u_l}^l (-j)^n (-j)^l \times (1 - (-j)^n (-j)^l). \]我们只关心输入前难滤掉，输出又混到中频的噪声。\(\omega_n = 2\omega_l - \omega_s\) 时，\((n,l) = \pm(1,-1)\) 对应输出 \(\mp\omega_s\)，由上式系数为零。因此可抑制本振噪声。
-
180°相移单平衡
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}. \]local、source 分别接哪列都行，local 接到 \(\pm 1\) 一列则称“本振”180°相移型（或反相型），source 接到 \(\pm 1\) 同理。
-
双平衡
\[ \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix}. \]\(i_\text{out} = i_1 - i_2 + i_3 - i_4\)。
输出中非零频率成分又少了一半。
微带典型实现如下。
-
单端
- 叠加本振、源——平行线耦合器，两个输出端一个接后续电路，另一个接匹配负载。
- 变换阻抗——λ/4 阻抗变换器，相移线段。（本振、源频率相近，λ 按哪个都行；一般源弱一些，更希望保护，λ 按源）
- 中频、直流通路——λ/4 高阻细线接地。
- 抑制镜像频率——λ/4 开路线，直接连或用平行线耦合。（λ 按镜像频率的）
- Schottky 势垒二极管。
- 输出低通滤波——高频旁路 λ/4 低阻粗线开路、半环电感、缝隙电容。
-
90°相移单平衡
平行线耦合器或分支线耦合器，两个输出端各接一路二极管。
-
180°相移单平衡
环形电桥。
上变频器¶
2023年6月8日。
Manley-Rowe Relations | Dmitry Pelinovsky Web Page: Principles of Fiber Optics.
非线性系统涉及频率 \(f_1 \Z + f_2 \Z\)，在 \(m f_1 + n f_2\) 输入系统的功率记作 \(P_{mn}\)。一般系统 \(\forall m,n \in \Z\)，\(P_{+m,+n} = P_{-m, -n}\)。Manley–Rowe 关系如下。
另外，输出支路无源，不可能向系统输入功率，\(P \leq 0\)。由这两点可证明参量下变频器中，频率较低的输入反而从系统获得功率，因而总不稳定。
变容管倍频器的微带典型实现¶
2023年6月1日。
- 输入低通滤波、阻抗变换——如串联电感、并联电容。
- 直流偏置网络——从信号上分出直流支路，λ/4 高阻、λ/4 低阻、自偏电位器、地。（此处 λ 是输入信号的）
- 变容管。
- 匹配输出阻抗——λ/4 阻抗变换器。（此处 λ 是输出信号的）
- 输出带通滤波器——λ/2 如平行耦合线。（此处 λ 是输出信号的）
- 空闲回路——λ/4 开路线。（此处 λ 是不想要的低次谐波的）
放大器¶
实际功率与资用功率¶
2023年4月24日，2023年5月1日。
考虑单端口负载，给定电源及其阻抗，则传给负载的实际功率随负载阻抗变化。共轭匹配时实际功率取最大，称作资用（available）功率。（前述“阻抗”可全部换作（电压）“反射系数”）实际功率与资用功率之比称作失配系数 \(M\)。
- 低频电路
- 负载阻抗太小 ⇒ 负载分压小 ⇒ 给负载的功率小。
- 负载阻抗太大 ⇒ 电流太小 ⇒ 给负载的功率小。
- 源、负载阻抗相加未能抵消虚部 ⇒ 电源输出电流、电压不同相 ⇒ 总功率小 ⇒ 给负载的功率小。
- 波
- 负载反射系数太大 ⇒ 负载吸收太少 ⇒ 给负载的功率小。
- 负载反射系数太小 ⇒ 再经电源反射的功率小 ⇒ 给负载的功率小。
- 源、负载反射系数相乘未能抵消相位 ⇒ 波在源、负载间反射时不能完全同相叠加 ⇒ 存在内阻振荡 ⇒ 给负载的功率小。
详细论证如下。
先考虑简单的低频电路：源（source）端输入 \(V_s\)（有效值），有内阻 \(Z_s\)，接上负载（load） \(Z_l\)。
可知 \(I_l = V_s / (Z_s + Z_l)\)，\(V_l = I_l Z_l\)，从而传给负载的功率
记号
上标 \(*\) 表共轭。
当 \(Z_s = {Z_l}^*\)（共轭匹配）时取等。（分实虚，转化为实函数可证）
再考虑波。
flowchart LR
source
-.->|"a<sub>l</sub>"| load
-.->|"b<sub>l</sub>"| source
subgraph source
a_s["a<sub>s</sub>"]
end记号
一般入射波记作 \(a\)，反射波记作 \(b\)。（按幅度计）
flowchart LR
a_s["a<sub>s</sub>"]
-->|1| a_l["a<sub>1</sub>"]
-->|"Γ<sub>l</sub>"| b_l["b<sub>l</sub>"]
-->|"Γ<sub>s</sub>"| a_l各量间算术关系如上图，可解得比例如下。
因此传给负载的功率
当 \(Γ_s = {Γ_l}^*\)（共轭匹配）时取等。
不等式的证明
一般 \(\abs{Γ_l}, \abs{Γ_s} \in [0,1]\)。
先优化 \(Γ_l\) 的辐角。由三角不等式，
当 \(Γ_l Γ_s \in \R^+\) 时取等。
再优化 \(Γ_l\) 的模。设 \(\abs{Γ_l} = λ \abs{Γ_s}\)，\(λ \geq 0\)，则
设 \(u = 1 - \lambda \abs{Γ_s}^2\)，\(\lambda = \frac{1 - u}{\abs{Γ_s}^2}\)，则上式可化为 \(u^{-1}\) 的二次函数
从而求极值。
各种增益¶
2023年4月24日，2023年5月1日。
Calculate power gain from two-port S-parameters - MATLAB
powergain. 2.3: Amplifier Gain Definitions - Engineering LibreTexts.
flowchart LR
源([源]) -->|输入匹配网络| 放大器 -->|输出匹配网络| 负载([负载])输出、输入比是增益。放大器是双端口器件，它有两处匹配问题，可定义多种功率增益（power gain）。
flowchart LR
subgraph 输入端
1a["资用<br>P<sub>1a</sub>"]
-.->|"M<sub>1</sub>"| 1["实际<br>P<sub>1</sub>"]
end
subgraph 输出端
2a["资用<br>P<sub>2a</sub>"]
-.->|"M<sub>2</sub>"| 2["实际<br>P<sub>2</sub>"]
end
1a --->|"转换<br>transducer<br>G<sub>t</sub>"| 2
1 --->|"工作<br>operating<br>G<sub>p</sub>"| 2
1a --->|"资用<br>available <br>G<sub>a</sub>"| 2a影响因素
\(M_1\) 与 \(Γ_s\) 有关，\(M_2\) 与 \(Γ_l\) 有关，各种增益都与放大器散射参量有关。
对于绝对稳定的放大器，可以实现双共轭匹配（两端口同时共轭匹配），\(M_1 = 1 = M_2\)，从而 \(G_p = G_t = G_a\)。这一值称作最大功率增益 \(G_m\)。可推出 \(G_m = \abs{S_{21} / S_{12}} \times \qty(K_s - \sqrt{{K_s}^2 - 1})\)，其中 \(K_s\) 为放大器的稳定系数。人为规定临界稳定（\(K_s = 1\)）时的最大功率增益为最大稳定功率增益 \(G_s = \abs{S_{21} / S_{12}}\)。
另外，若假设放大器只能“1端 → 2端”（\(\abs{S_{12}} \ll \abs{S_{21}}\)），则可计算单向化（unilateral）转换功率增益。
flowchart LR
a_s["a<sub>s</sub>"]
a_1["a<sub>1</sub>"]
b_1["b<sub>1</sub>"]
a_2["a<sub>2</sub>"]
b_2["b<sub>2</sub>"]
a_s
--> a_1
--->|"S<sub>21</sub>"| b_2
-->|"Γ<sub>l</sub>"| a_2
-->|"S<sub>22</sub>"| b_2
a_1
-->|"S<sub>11</sub>"| b_1
-->|"Γ<sub>s</sub>"| a_1稳定性判据¶
2023年5月1–2日。
应当要求放大器稳定——所有端口的反射系数的模都小于一。这些反射系数不仅与放大器的散射参量 \(S\) 有关，还取决于 \(Z_\text{source},\ Z_\text{load}\)。因此，要想保证放大器稳定，应同时限制 \(Z_s, Z_l\)。
分别考虑每个端口。
以 \(x\) 端为例，需求 \(\qty{Γ_Y : \abs{Γ_x} < 1}\)。
flowchart LR
a_x["a<sub>x</sub>"]
b_x["b<sub>x</sub>"]
a_y["a<sub>y</sub>"]
b_y["b<sub>y</sub>"]
a_x
-->|"S<sub>yx</sub>"| b_y
-->|"Γ<sub>Y</sub>"| a_y
-->|"S<sub>xy</sub>"| b_x
a_y -->|"S<sub>yy</sub>"| b_y
a_x -->|"S<sub>xx</sub>"| b_x算术关系如上图，可得 \(x\) 端各种因素总的反射系数
记号
此处下标小写字母指放大器，下标大写字母指放大器以外部分（源、负载等）。
Möbius变换
Möbius变这种形式保交比，保广义圆。
这种 Hermitian 阵对应广义圆或 \(\varnothing\)。事实上，若 \(A,C \in \R\)，\(B \in \C\)，则
与 \(B \in \R\) 时类似。
电路无源时 \(\abs{Γ_Y} < 1\)。为降低后续设计难度，可要求放大器绝对稳定（只要 \(\abs{Γ_Y} < 1\) 即稳定），问题归结为
Rollett 绝对稳定性（stability）判据：
这只是必要条件。下面是充要条件。
另外，放大器实际接入电路后，要求可从 \(\abs{Γ_x} < 1\) 放松为 \(\abs{Γ_x Γ_X} < 1\)。
设计匹配网络¶
2023年5月2日。
- 验证放大器绝对稳定。（条件稳定的放大器设计困难，一般不考虑）
- 按目标计算需要的输入、输出反射系数。
- 追求大功率增益：双共轭匹配。
- 追求低噪声系数：输入端取 \(Γ_{s, \text{optimal}}\)，输出端共轭匹配。
- 利用 Smith 圆变换阻抗。
功率放大器的指标¶
2023年6月9日。
除了效率，功率放大器还特别在意线性程度。
-
1 dB 压缩点
输入功率太大时，放大器增益会下降。增益比小信号时低 1 dB 时的输入或输出功率称作 1 dB 压缩点。
-
三阶交调系数
输入双频 \(\omega_1, \omega_2\)，由于非线性，输出可能有 \(\Z \omega_1 + \Z \omega_2\)，串扰其它信道。离得最近的两个频率是 \(2 \omega_1 - \omega_2, 2 \omega_2 - \omega_1\)，这两个频率的幅度称作三阶交调幅度，占基频的比例称作系数。
-
调幅–调相转换系数
输入功率变化单位比例导致的输出相位变化，单位常用 \(\deg / \text{dB}\)。
振荡器¶
Kurokawa 负阻理论¶
2023年5月10日。
在一定电压范围内，器件可以呈现微分负阻，直流能量转化到交流，实现放大。
将电路划分为器件、谐振电路两个单端口器件。器件非线性，微分阻抗 \(-Z_D\) 与直流工作点 \(I\) 强相关，随频率缓慢变化，实部为负。谐振电路由电阻、电感或电容组成，阻抗 \(Z\) 只与频率有关，不过实部几乎不随频率变化。
- 起振：总电阻以负阻为主（\(\Re(-Z_D + Z) < 0\)），电量振幅指数增长。
- 平衡：电量幅度、相位都进入稳态，\(-Z_D + Z = 0\)，振幅稳定。
- 稳定性：微扰可恢复，条件是平衡点处 \(\Im( \pdv{I}(-Z_D)^* \pdv{\omega} Z ) < 0\)。（这是向量积的正负，即手性）
调谐时，\(\omega \mapsto Z\) 会变化，移动平衡点。若 \(\qty{Z}\) 有环，\(\omega \mapsto Z\) 时平衡点可能突然消失，导致工作点被迫移动，频率、功率跳变。而且即使调谐到原位置，平衡点也未必恢复，轨迹会滞后。
TED振荡器的工作模式¶
2023年5月10日。
TED 天然负阻，可用来实现振荡器。外围谐振电路有多种选择。
记号
TED的阈值电压（增大电压时电流的极大值点）记作 \(V_\text{threshold}\)，维持电压（减小电压时电流的极大值点）记作 \(V_\text{sustain}\)。（\(V_\text{sustain} \lesssim V_\text{threshold}\)）
TED中偶极畴的生长时间记作 \(T_\text{domain}\)，渡越时间记作 \(T_\text{transit}\)。谐振电路的周期记作 \(T_\text{resonate}\)。
TED的长度指畴移动的距离，充分长指大于 \(10^{-12} / \text{cm}^2\) 比载流子浓度。
注
\(T_\text{transit}\) 与器件尺寸正相关，而尺寸会影响功率容量。
高场畴会降低其它地方的电场强度，减小电流。
电流越接近正弦型函数，能量越集中于单频，效率越高。
-
纯粹渡越时间（John Battiscombe Gunn）
- TED充分长。
- 器件上的电压始终超过 \(V_\text{threshold}\)。（⇒ 交流分量不能太强）
- \(T_\text{domain} < T_\text{resonate}\)，成熟畴。
- \(T_\text{resonate} = T_\text{transit}\)，一畴被吸收后，随即形成另一畴。（另 ⇒ 无法调谐）
- 电流为脉冲串。
-
猝灭畴
- TED充分长。
- 器件上的电压大部分时间超过 \(V_\text{threshold}\)，不时摆动到 \(V_\text{sustain}\) 以下。
- \(T_\text{domain} < T_\text{resonate}\)，成熟畴。
- \(T_\text{resonate} < T_\text{transit}\)，畴来不及渡越完，就会因电压低于 \(V_\text{sustain}\) 而猝灭。
- 电流峰更宽，更接近正弦型函数。
-
延迟畴
- TED充分长。
- 器件上的电压大部分时间超过 \(V_\text{threshold}\)，不时摆动到 \(V_\text{sustain}\) 与 \(V_\text{threshold}\) 之间。
- \(T_\text{domain} < T_\text{transit}\)，成熟畴。
- \(T_\text{resonate} \in (T_\text{transit}, 2T_\text{transit})\)，一畴被吸收后，端压还没升到 \(V_\text{threshold}\)，等一会儿才能形成另一畴。
- 电流较大的时间占比不小，进一步接近正弦型函数。
-
限制空间电荷积累（猝灭积累层，limited space-charged accumulation）
- \(T_\text{resonate} < T_\text{domain}\)，畴积累不到成熟。不过 \(T_\text{resonate}\) 仍远大于弛豫时间。
- 器件大小适当，掺杂均匀，内部始终是匀强电场。（直接利用负微分电导）
- 器件上的电压大而振荡剧烈，从 \(V_\text{sustain}\) 到正微分电导区都有分布。
- 效率在这几种模式中最高。
控制电路¶
限幅器¶
2023年6月9日。
保护器件，尽可能继续工作。
- 并联两个反接的SBD，利用整流特性。
- 并联两个反接的变容管，利用阻抗不匹配时反射。
- 并联一个P⁺–I–N⁺管，也是利用失配反射。
后备箱¶
- 评价器件的角度：频率成分，频率（带宽）、幅度（动态范围）范围，噪声，隔离，制造复杂程度。