线性代数¶
术语或记号¶
- 阶梯阵
- RREF
- 简化行阶梯形式（Reduced Row Echelon Form）。
- 反对称阵
- 转置为自身的负矩阵的矩阵。
- 相抵标准形矩阵
- 一种与给定矩阵相抵（一种等价关系）的矩阵，其左上角是单位矩阵，其余三块为零矩阵。
- 相似
- 同一线性变换在不同基下的矩阵表示。
- 合同
- 同一二次型在可逆变量替换前后对应的矩阵的关系。
- 标准形（二次型）
- 没有交叉项的二次型。
- 规范形（二次型）
- 没有交叉项，而且平方项系数只有0、1（不允许复线性替换时还允许-1）的二次型。
- 正交阵
- 列向量标准正交的方阵。
§1 矩阵¶
将矩阵化为阶梯阵或RREF¶
2021年3月6日。
化为阶梯阵时，利用前一行（其中\(a_1\)非零）化简后一行，这可看作计算若干行列式：
写成行列式方便找数；数较大时也能利用多线性变小，提高效率，有时还能提高功率。
2021年4月24日：这对整数封闭。
当变为零的不是 \(b_1\) 时，行列式应保证 \(b_c\) 的位置一致，而不是两列的左右顺序一致。
另外，如果 \(a_1=1\)，则计算会简化，之后化为RREF时也少一个步骤。将 \(\vec a\) 单位化可归一，但这往往导致出现大量分数，得不偿失；若 \(a_1,b_1\) 互质，可利用关于\(x,y\)的方程 \(a_1x + b_1y=1\) 存在整数解来化为一。
若\([a_i]\)存在公因数，将整行约去它还是能减小计算量。
\(a_1x+b_1y=1\) 可转化为 \(ax \equiv1\pmod{b_1}\)，扩展的辗转相除法可解，但一般能直接看出来。
将阶梯阵化为RREF时类似：
矩阵乘法不满足消去律¶
2021年3月8日、2021年3月17日。
用 Gauss–Jordan 方法求逆矩阵¶
2021年3月12日、2021年3月15日。
不必立即机械应用算法。可暂停程序，用行变换让行前面多些零，主元变成一，少些分数。（被乘的那一行随后可能变得混乱，故需暂停）
另外，求 \(A^{-1}B\) 也可用类似方法，一般能减少计算量。（相当于把 \(A,B\) 的每一列拿出来解方程）
方阵的二次式¶
2021年3月13日、2021年3月15日。
对于\(n\)阶方阵\(X\)，\(XI=X=IX\)，满足交换律，故 \(X^2-(p+q)X+pqI = (X-pI)(X-qI)\)。
因此，对于矩阵方程 \(X^2+bX+cI = O\)，对任意不为复数方程 \(x^2+bx+c=0\) 的根的数 \(\lambda\)，有
如果取\(\lambda\)为上述复数方程的根，则 \(Y=X-\lambda I\) 满足方程
\[ Y \left( Y+(b+2\lambda)I \right) = Y^2+(b+2\lambda)Y = O \]即消除了零次项。若\(\lambda\)是重根，则进一步变为 \(Y^2=O\) 。
如果取 \(\lambda = -\frac12 b\) 且不是重根，则 \(Y=X-\lambda I\) 满足方程
\[ Y^2 = (\cdots) I \]据说，这样的矩阵称为对合矩阵。
另外，对于两个同型方阵 \(A,B\) 有下式，这可用于解某些矩阵方程。
2021年5月30日。
\(X\) 的所有特征值都是方程 \(x^2+bx+c=0\) 的根（\(p\)或\(q\)）。并且若 \(p\neq q\)，则
这说明 \(X-pI,X-qI\) 的解空间 互为正交补 的和空间是全空间（其中一个可能是零空间），所以\(X\)一定可以相似对角化。
2021年6月29日。
另外，能直接从 \(X-pI,X-QI\) 的列向量们线性表示出自然基，从而得证。
2021年12月4日。
好像无法说明两个解空间是正交的。
若 \(p=q\)，则
由于\(X\)只有一个特征值\(p\)，能相似对角化则要求 \(\rank(X-pI)=0\)，即 \(X=pI\)，否则不能。
分块矩阵¶
2021年3月15日、2021年3月16日、2021年3月17日。
利用分块矩阵的“消元”可证明一些关于秩等的命题。具体来说，只要形状匹配，初等变换中的“数”都可变为矩阵，只需注意“行”变换为左乘，“列”变换为右乘。另外，将某一“行”（或“列”）翻倍时，倍“数”必须可逆。
矩阵积的秩的范围¶
2021年3月16日、2021年3月24日。
对于 \(A_{l\times m}, B_{m \times n}\)，
另证：\(AB\) 的每列向量都是 \(A\) 各列向量的线性组合，故 \(\rank(AB) \leq \rank A\)。
秩¶
2021年6月22日、2021年6月22日。
用消元定义了矩阵的秩，用线性组合定义了向量组的秩。要统一“行”或“列”、“消元”或“线性组合”组合形成的四种秩。
显然的部分：矩阵的初等行变换不改变“行消元秩”，也不改变“列线性组合秩”。（用 \(A=CR\) 可说明这两个秩一致；这里用别的方法证了。）
首先说明对于阶梯阵，四秩合一。以行阶梯阵为例。由于都等于非零行数，“行消元秩”与“行线性组合秩”一致；且主元所在列可作为列向量组的极大无关组，故“列线性组合秩”也等于主元数。又，初等列变换能将它化为相抵标准形，这说明它的“列消元秩”也等于主元数。
对于 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，先做初等行变换（相应方阵记为 \(P\)）化为行阶梯阵，再做初等列变换（相应方阵记为 \(Q\)）化为相抵标准形 \(S\)，则 \(PAQ=S\)，\(A \overset行\cong PA \overset列\cong S \overset行\cong AQ \overset列\cong A\)。
\(\overset行\cong\) 表示只允许初等行变换的相抵，\(\overset列\cong\) 类似。
\(S\) 也是行阶梯阵，其秩记为 \(r\)。
- \(PA \overset列\cong S\)：两个矩阵都是行阶梯阵，本来它们的四个秩就分别一致。再由列相抵，它们的八个秩都是 \(r\)。
- \(A \overset行\cong PA\)：由行相抵，\(A\) 与 \(PA\) 的“行消元秩”与“列线性组合秩”分别一致。由于 \(PA\) 是行阶梯阵，这两个秩又都等于 \(PA\) 的秩，即 \(r\)。
- \(S \overset行\cong AQ\)：\(S\) 的后 \(n-r\) 列本来全为零，所以无论怎么行变换，后 \(n-r\) 列都为零，因此 \(AQ\) 只有前 \(r\) 列非零。故 \(AQ\) 的“列消元秩”与“行线性组合秩”小于等于 \(r\)。（也可说明另外两个秩小于等于 \(r\)，但后面用不到。）
- \(AQ \overset列\cong A\)：由列相抵，\(AQ\) 与 \(A\) 的“列消元秩”与“行线性组合秩”分别一致。由上，都小于等于 \(r\)。
因此，\(A\) 的“行消元秩”等于“列线性组合秩”等于 \(r\) 大于等于“列消元秩”，且 \(r\) 大于等于“行线性组合秩”。故“行消元秩”大于等于“列消元秩”。
若对 \(A\) 先做初等列变换，则得到“列消元秩”大于等于“行消元秩”。综合二者，行、列“消元秩”一致。同理可得行、列“线性组合秩”一致。
因此，四秩合一。
矩阵方程的解何时可逆¶
2021年6月29日。
以一例来说明，
的解是
若 \(X\) 可逆，则后两列线性独立，故 \(\mu\neq\nu\)。此时后两列与 \((6,-2,-1)^\tran, (4,-1,0)^\tran\) 等价，故它们也与 \((3,-1,0)^\tran\) 线性独立，故 \(X\) 已必然可逆。
§3 线性空间与线性变换¶
正交化向量组¶
2021年4月24日、2021年6月27日。
Gram–Schmidt 正交化方法是给计算机设计的，从第一步开始就可能出现非整数，对人很不友好。
考虑将 \(\{\vec v_i\}\) 正交化为 \(\{\vec\eta_i\}\)，……（待续）
计算好 \(\lvert\vec\eta_i\rvert\) 后可以记下它，以后直接用。
基变换与线性变换¶
2021年4月28日、2021年6月27日。
过渡方阵为 \(T\) 的基变换：\([\vec e'\cdots] = [\vec e \cdots]T\)，而 \(T \vec x' = \vec x\)。\(T\)的各列是 \(\{\vec e'\}\) 在基 \(\{\vec e\}\) 下的坐标。
方阵 \(T\) 相应的线性变换：\(\sigma(\vec x)=T\vec x\)，特例是 \(\sigma(\vec e) = T\vec e\)。\(T\)的各列是 \(\{\sigma(\vec e)\}\) 在基 \(\{\vec e\}\) 下的坐标。
§4 行列式¶
行列式的化简¶
2021年5月23日。
降阶法和三角化法本质上一样，只是前者书写过程比较简洁，重复内容少。
分块行列式¶
2021年6月29日。
对于 \(n\) 阶方阵 \(A,B,C,D\)，其中\(A\) 可逆，且 \(AB=BA\)，则
\(n\) 阶行列式¶
2021年6月29日。
有一类都可以把所有行加起来，提取公因式。
例：
$5 特征值与特征向量¶
\(A=\vec u\vec u^\dagger\)¶
2021年5月30日。
教材 264 页 36. 在线性代数-学习指导与习题解答-重制书签.pdf 248页的注，那里讨论了 \(\vec\alpha \vec\beta^\tran\)。
若 \(\vec u^\dagger \neq \vec 0\)，讨论 \(A=\vec u\vec u^\dagger\) 的特征系统。
显然 \(A\) 的行简化阶梯阵是 \(\begin{bmatrix} \vec u &\vec 0 &\cdots& \vec0 \end{bmatrix}^\dagger\)，所以 \(\rank A = 1\)。
另外 \(A^2 = \vec u \vec (u^\dagger\vec u) \vec u^\dagger = \lVert \vec u \rVert^2 A\)，所以 \(A\) 的特征值必满足 \(\lambda^2 = \lVert\vec u\rVert \lambda\)，不是 \(0\) 就是 \(\lVert \vec u \rVert^2\)，并且 \(A\) 可相似对角化。（→“方阵的二次式”）
\(A-0I = A\) 的解空间由 \(\rank A = 1\) 可知是 \(n-1\) 维，故 \(\lambda = 0\) 对应 \(n-1\) 个特征向量。具体来说，\(A\vec x = 0\vec x\) 相当于 \(\vec u\vec u^\dagger\vec x = \vec 0\)，而 \(\vec u^\dagger \vec x \in \C\) 且 \(\vec u\neq \vec 0\)，所以这由等价于 \(\vec u^\dagger \vec x = 0\)，即 \(\vec u \perp \vec x\) —— \(\lambda=0\) 的特征子空间就是 \(\vec u\) （所张成空间）的正交补。
\(A-\lVert\vec u\rVert^2I\) 的解空间呢？结合 \(A\) 可相似对角化与 \(\lambda=0\) 的情况可知它的维度是 \(1\)，其它的就不好说了，还是从原始形式 \(A\vec x = \lVert\vec u \rVert^2\vec x\) 入手吧。这等价于 \(\vec u\vec u^\dagger\vec x = \vec x\vec u^\dagger \vec u\)，显然 \(\vec x = \vec u\) 是它的一个解，故特征子空间就是 \(\vec u\) （所张成的空间）。
这样就清楚了 \(A\) 的特征系统。其实 \(\frac1{\lVert\vec u\rVert^2}A\) 是投影阵，它将向量投影到 \(\vec u\) 上。
正交阵的特征值的模总为一¶
2021年6月29日。
设 \(Q\vec x = \lambda \vec x\)，\(\vec x \neq\vec 0\) 则 \(\vec x^\dagger Q^\dagger = \bar\lambda \vec x^\dagger\)，故
§6 二次型¶
可交换矩阵¶
2021年6月29日。
由矩阵乘法定义，与对角阵可交换的矩阵基本只能是对角阵。
如果两个对角元相等，则相应位置可任意选取。
\(AB = BA\) 的充要条件是 \(A,B\) 可同时相似对角化。
必要性：设 \(P^{-1}AP = \Lambda\)，则由于 \(P^{-1}BP\) 与 \(P^{-1}AP\) 天然可交换，所以 \(P^{-1}BP\) 也基本是对角阵，从而 \(P\) 也能把 \(B\) 相似对角化。
充分性：写成 \(P\Lambda P^{-1}\)，显然。
若实对称阵 \(A,B\) 正定，则 \(AB\) 正定的充要条件是 \(AB=BA\)。
充分性：同时相似对角化后，很容易写出 \(AB\) 的特征值。
必要性：正定要求实对称，\(AB = (AB)^\tran = B^\tran A^\tran = BA\)。
注意¶
- 矩阵乘法不满足消去律。
- 化简带参数的矩阵时，注意分类讨论。
- 转置分块矩阵时，每个小矩阵也要转置。
- 区分向量与其坐标。
- 坐标与基的顺序有关。
- 伴随矩阵的下标与一般情况相反。
- 求标准正交基或正交相似变换因子时记得单位化。
- 写通解时要指明参数范围。
- 多项式空间 \(F[x]_n\) 表示一个 \(n\) 维线性空间，即次数小于等于 \(n-1\) 的多项式的集合。
- 线性空间要求非空，证明其子集是子空间时也要求非空。
- Gram–Schmidt 正交化方法中分母是模的平方。