智能多源感知¶

\[ \def\R{\mathbb{R}} \]

1 雷达系统与信号模型¶

Doppler 效应¶

2023年9月14日，2024年3月7日。

始终采用雷达参考系。

设 \(t_\text{transmit}\) 到 \(t'_\text{transmit}\) 发射，\(t_\text{receive}\) 到 \(t'_\text{receive}\) 接收到回波。

四个时刻，两种增量

四个时刻的先后顺序如下，注意 \(t_r, t'_t\) 顺序不确定。

flowchart LR
    t_t[t<sub>transmit</sub>]
    t_r[t<sub>receive</sub>]
    t_t_[t'<sub>transmit</sub>]
    t_r_[t'<sub>receive</sub>]

    t_t --> t_r -.-> t_r_
    t_t -.-> t_t_ --> t_r_

可见这里有两种增量：起止（虚线）、收发（实线）。

\[ \begin{aligned} \Delta (\cdot) &\coloneqq (\cdot)' - (\cdot). \\ \eval{(\cdot)}_t^r &\coloneqq (\cdot)_\text{receive} - (\cdot)_\text{transmit}. \\ \end{aligned} \]

由物理过程，\(2 r = c\eval{t}_t^r\)，其中 \(r\) 是目标反射这束光时的位置，即 \(\frac{t_r + t_t}{2}\) 时刻的位置。考查起止增量：

\[ \frac{2 \Delta r}{c} = \Delta \qty(\eval{t}_t^r) = \eval{\qty(\Delta t)}_t^r. \]

注意 \(\eval{\qty(\Delta t)}_t^r \neq 0\) 正是 Doppler 效应——接收的光与发射的不同，它刚好反映 Doppler 效应对周期 \(T\) 的影响。考查相对变化：

\[ \frac{\eval{T}_t^r}{T_t} = \frac{\eval{\qty(\Delta t)}_t^r}{\Delta t_t} = \frac{2}{c} \frac{\Delta r}{\Delta t_t} \approx \frac{2}{c} v, \]

其中 \(v\) 是目标的速度。“\(\approx\)”是因为 \(v\) 应当对应 \(t_t\) 的起止增量，而 \(\Delta r\) 对应 \(\frac{t_r + t_t}{2}\) 的起止增量，多了 \(\frac12 \Delta \eval{t}_t^r\)。走停假设认为这可以忽略。

另外 \(T\) 的偏移与频率 \(f\) 的偏移紧密相关。\(T f \equiv 1\)，则 \(\dd{f} / f = \dd \ln f = - \dd \ln T = - \dd{T} / T\)。故 Doppler 效应不太显著（\(v \ll c\)）时，Doppler 频偏约等于

\[ - f \times \frac{2}{c}v = - \frac{2 v}{\lambda}. \]

只差相对论效应的严格版本

\(\Delta r\) 对应时间与 \(v\) 对应时间之比

\[ \frac{\Delta \eval{\frac{t_r + t_t}{2}}_t^r}{\Delta t_t} = \frac{\frac{\Delta r}{v}}{\frac{\Delta r}{v} - \frac{\Delta r}{c}} = \frac{1}{1 - \frac{v}{c}}. \]

因此 Doppler 效应的周期相对变化

\[ \frac{\eval{T}_t^r}{T_t} = \frac{2v}{c} \times \frac{1}{1 - \frac{v}{c}}. \]

再看第二处近似。由 \(T f \equiv 1\)，不用 \(\dd \ln\) 近似，严格来说是

\[ \frac{\eval{f}_t^r}{f_t} = - \frac{\eval{T}_t^r / T_t}{1 + \eval{T}_t^r / T_t} = - \frac{2v}{c} \times \frac{1}{1 + \frac{v}{c}}. \]

代入得

\[ \eval{f}_t^r = - \frac{2 v}{\lambda_t} \times \frac{1}{1 + \frac{v}{c}}. \]

——“走停”恐怕并不准确，这种近似只要求 \(v \ll c\)（从而 \(\Delta r \approx v \Delta t\)）和 \(v\) 恒定，而与 \(\Delta r \lesseqgtr \lambda\) 之类的无关。

在脉冲Doppler体制中，这一条件正对应单个脉冲内（即快时间中）Doppler效应导致的相位差是否够大。

典型例子：脉冲宽度 \(1 \text{ μs}\)，速率 \(10^{2.5} \text{ m/s}\)（接近声速），那么 \(\Delta r \approx 10^{-0.5} \text{ mm}\)，远小于一般波长 \(10^{1.5} \text{ mm}\)。

3 距离分辨率和角分辨率¶

2022年3月17日。

我们讲了两种处理啁啾信号的方法——脉冲压缩、去斜。其中脉冲压缩是通用方法，去斜则只适用于啁啾信号。（两种方法的分辨率同量级，我感觉去斜更容易理解。）

脉冲压缩¶

“脉冲压缩”字面指这种处理方法的效果，让宽脉冲也能有窄脉冲的效果。（窄脉冲距离分辨率高；宽脉冲能量大，从而测距范围大）

具体实现就像某种书上的解密卡片，只有“滑动窗”平移到刚好和信号中的回波完全重合时才有显著输出。“比较是否重合”就是给两个信号内积，比较一系列不同位置的滑动窗就是卷积/相关。

去斜¶

去斜是在“瞬时频率 \(f\)—时间 \(t\)”意义上讨论的。

啁啾信号可表示成 \(x = A \exp(i 𝜑)\)，\(𝜑 = \pi K t^2+ \cdots\)，这样 \(\dv{\varphi}{t} = 2\pi Kt + \cdots\) 就是瞬时（角）频率，它随时间线性变化，\(K\) 称为“调频”率。

若有两个信号 \(x = (\cdots) \exp(i 𝜑)\)、\(y = (\cdots) \exp(i ψ)\)，很容易构造它们的相位差：\(x y^* = (\cdots) \exp(i (𝜑-ψ))\)。注意 \(x,\ y,\ xy^*\) 的频率，其实频率差也构造出来了。（此即“差拍”）

雷达测距把位置差转化为时间差。由于线性调频，时间差可继续转化成频率差。

准备一个本振信号作为基准，它满足 \(f = K t\)。（时间原点是接收机开始工作的时刻，不一定是发射时刻。）
回波（的非零部分）满足 \(f = K (t-t_0)\)，其中 \(t_0\) 是回波前沿到达的时刻，反映目标距离。
作差拍，它（在回波非零时段）满足 \(f = K t_0\)，频率稳定。
再变换到频域，\(K t_0\) 频率稳定存在了一段时间，会出现主峰；其它频率不曾稳定存在，基本没有。因此，只要把主峰的频率记下，就可反推出 \(t_0\)，从而进一步测距。

现在讨论分辨率。

设有两个目标，它们在频域各自形成一峰，（认为）两峰间距大于峰宽时才可分辨出。两峰间距取决于距离差，峰宽取决于时域宽度，即回波（非零部分）的时长。（→幻灯片 19 页）

带宽¶

零带宽的信号只有持续时间无限长的正弦波，实际信号是持续时间有限的多种正弦波的叠加，有两种因素导致带宽。

对于简单脉冲，主要因素是持续时间。
对于啁啾信号，主要因素是人为混入的各种频率。（算一下会发现 \(KT \gg 1/T\)。）粗略估计可考虑“频率\(f\)—时间\(t\)”图，把那条图线在频率轴的投影当作频带，从而带宽是 \(KT\)。

距离分辨率¶

从我们课上的论证看，脉冲压缩和去斜的距离分辨略都是 \(c/(2B)\) 只是巧合。

时间分辨率为 \(1/B\) （相当于距离分辨率为 \(c/2 × B\)）是算出来的，在幻灯片11页至14页。

4 信号检测、匹配滤波、雷达方程¶

模糊¶

2022年4月17日。

距离“不模糊”指回波周期性不会有影响。

雷达方程¶

2023年9月12日，2024年9月10–11日。

信号：

Power \(P_\text{transmit}\)。
Gain \(G_\text{transmit}\)，由方向特性决定。
\(\sigma / \qty(4 \pi R^2)\)，其中 \(\sigma\) 是 radar cross section。
\(A / \qty(4\pi R^2)\)，其中 \(A\) 是雷达天线面积。另外 \(A = G_\text{receive} \times \lambda^2 / \qty(4\pi)\)。

噪声：

\(k_B T\)。
Band width \(B\)。

另外还有损耗 \(L\)。

Avijit, electromagnetism - Effective aperture of isotropic antenna - Physics Stack Exchange.

Derivation of antenna aperture from thermodynamic considerations - Wikipedia.

10.13: Effective Aperture - Physics LibreTexts

Glenn Schulz W9IQ, math - Why is antenna aperture a function of wavelength? - Amateur Radio Stack Exchange.

天线面积 \(A\) 很直观，当初 Friis 很常用；但它其实是“有效”面积 \(A_\text{effect}\)，现代更倾向于按增益 \(G\) 分析，与各向同性无耗天线比较——增益反映定向性和损耗。

各向同性天线是什么模型呢？天线面积越大，能流越集中于法向；反过来，各向同性天线其实就是点源。各向同性无耗天线的增益按定义是一，不过这代表的具体能流密度、天线有效面积需要计算。发射、接收是两个物理过程，对应两种定义，我们都分析一下。（按互易原理，二者总是一致。）

发射过程输入功率，输出电磁波，可看作热力学过程黑体辐射。Rayleigh–Jeans公式给出能谱辐射度（spectral radiance，发射物体上单位面积向单位立体角中辐射的功率的频谱密度¹）\(B = 2 k_B T / \lambda^2\)，于是 \(A\) 这么大的一块天线向全空间辐射的总功率谱密度是 \(4\pi A B\)。构造适当的热力学装置，可将它与 Johnson–Nyquist 热噪声的功率谱密度 \(k_B T\) 建立联系：前者是后者的两倍（因为极化，只有一半能量有作用）。联立推出 \(A = \lambda^2 / (4\pi)\)。

接收过程是点源感应平面波。注意只有近场能感应到。因为各种物理量都含 \(k r\) 项（其中 \(k\) 是角波数，\(r\) 是间距），近场的范围大致是 \(1/k\)。认为有效区域就是近场覆盖的圆盘，从而 \(A = \pi (1/k)^2 = \lambda^2 / (4\pi)\)。

上面是从 \(A\) 理解，其实也可从 \(G\) 理解。

将一个无耗天线从各向同性改为定向，辐射功率不变，但辐射范围从全空间 \(4\pi\) 压缩到了一个小波束。天线辐射出波束的平面角大致是 \(\lambda / l\)（其中 \(l\) 是天线在这个平面内的线度），那么立体角大致就是 \(\lambda^2 / A\)。因此与各向同性天线相比，增益是 \(G = \lambda^2 / A / (4\pi)\)。

Stationary Phase Approximation¶

2023年9月13日。

Stationary phase approximation - Wikipedia.

Via stationary phase method - Chirp spectrum - Wikipedia.

Chapter 14 The method of stationary phase - Semi-classical analysis.

若 \(x \mapsto \theta = K \frac{x^2}{2} + o(x^2)\) 且 \(x \mapsto A\) 缓变，则定积分

\[ \int\limits_\R A e^{j \theta} \dd{x} \]

可近似计算。

\(x \to 0\) 时，\(\dv{\theta}{x} \approx 0\)，被积函数近似同相，能积累起来。
其余 \(x\) 时，\(\dv{\theta}{x}\) 较大，被积函数相位变化剧烈，难以积累，近似为零。

因此原积分近似化为

\[ \begin{split} & \int\limits_\R \eval{A}_{x=0} e^{j \theta} \dd{x} \\ &= \eval{A}_{x=0} \int\limits_\R e^{j \theta} \dd{x} \\ &\approx \eval{A}_{x=0} \int\limits_\R e^{j K \frac{x^2}{2}} \dd{x}. \\ \end{split} \]

现在计算剩下的定积分。考虑解析函数 \(e^{- z^2 / 2}\) 在辐角属于 \(\qty[0, \frac\pi4]\) 扇形的边界上的围道积分，结合 \(\int_{\R^+} e^{-x^2/2} \dd{x} = \sqrt{\pi / 2}\)，可得

\[ \int\limits_\R e^{j K \frac{x^2}{2}} \dd{x} = \sqrt{\frac{2\pi j}{K}}. \]

算术平方根

规定 \(\sqrt{j}\) 表示 \(e^{j \pi / 4}\)。

计算啁啾信号的频谱时，积分变量是 \(t\)，定积分带参数 \(\omega\)。

\(t \mapsto A\) 是门函数，确实缓变（除了个别点）。

\(t \mapsto \theta\) 不符合原来的要求，但它是二次函数，总存在唯一驻点 \(t_0\)（它含 \(\omega\)）。在 \(t_0\) 处按幂级数展开：

\[ \theta = \eval{\theta}_{t_0} + \eval{\dv[2]{\theta}{t}}_{t_0} \times \frac{(t-t_0)^2}{2} + o\qty((t-t_0)^2). \]

这就可以处理了。

最终可知啁啾信号的频谱与 \(\operatorname{sinc}\) 的类似，但相位没对齐，而是按 \(\omega \mapsto t_0 \mapsto \eval{\theta}_{t_0}\) 变化。具体来说，若 \(t \mapsto \theta = \qty(\alpha + \beta t + \gamma \frac{t^2}{2}) - \omega t\)，则

\[ \omega \mapsto t_0 \mapsto \eval{\theta}_{t_0} = a - \frac{(\beta-\omega)^2}{2 \gamma}, \]

还是二次函数。

10 代价函数匹配激活函数¶

2022年5月3日，2023年10月15日。

避免导数太小。

代价函数 \(J = \eval{J}_{\vb* a}\)，激活 \(a_\mu = g(z_\mu)\)。希望反向传播的起始 \(\delta_\mu = \pdv{z_\mu} J\) 不致太小。

\[ \delta_\mu = \eval{g'}_{a_\mu} \pdv{J}{a_\mu}. \]

\(g\) 是 Logistic 函数时，\(g'\) 很有可能非常小。若 \(J\) 是离差平方和，则无法抑制。

\[ \begin{cases} \ln a, & y=1. \\ \ln(1-a), & y=0. \\ \end{cases} \]

若 \(J\) 是交叉熵（如上），则 \(\pdv{a_\mu} J\) 可响应除以掉，最终 \(\delta_\mu = a_\mu - y_\mu\)，不会太小。

跳出来看，原来希望\(\pdv{a_\mu} J = \qty(a_\mu-y_\mu) / \eval{g'}_{a_\mu}\)。

比如 soft-max 激活函数

\[ a_i = \frac{\exp z_i}{\sum_j \exp z_j}. \]

试试解那个方程？

\[ \begin{split} \pdv{a_\mu} J &= \frac{a_\mu - y_\mu}{\pdv{a_\mu}{z_\mu}} \\ &= \frac{a_\mu - y_\mu}{a_\mu - \frac{a_\mu}{\sum \exp z} \times \exp z_\mu} \\ &= \frac{a_\mu - y_\mu}{a_\mu (1 - a_\mu)} \\ &= \begin{cases} \frac{1}{1-a_\mu}, & y_\mu = 0. \\ - \frac{1}{a_\mu}, & y_\mu = 1. \end{cases} \end{split} \]

若忽略 \(y=0\)，则对应对数似然代价函数 \(y \log a\)。（其它输出不会放任自流，有其它样本限制着。）

交叉熵和 soft-max

\(y\) 是 one-hot 向量，\(a_i = \exp z_i / \sum_j \exp z_j\)，那么

\[ \begin{split} J &\coloneqq -\sum_i y_i \ln a_i \\ &= \sum_i y_i \qty(\ln \sum_j \exp z_j - z_i) \\ &= \sum_i \qty(y_i \ln \sum_j \exp z_j) - \sum_i y_i z_i \\ &= \qty(\sum_i y_i) \ln \sum_j \exp z_j - \sum_i y_i z_i \\ &= \ln \sum_j \exp z_j - \sum_i y_i z_i. \\ \end{split} \]

从而

\[ \pdv{J}{z_i} = \frac{\exp z_i}{\sum_j \exp z_j} - y_i = a_i - y_i. \]

这里是频谱密度，即单位频率中的功率，也有按单位波长中的功率算的。 ↩