Exoplanets & Cosmology¶

课程名称

本课跨校，有多个名字。

宇宙的诞生与天文学中的地外行星
Introduction to Cosmology and Exoplanets
外星探索的机制与案例——NASA的地外行星与生命探索

Cosmology¶

Radiation dilution in the expanding universe¶

2023年5月1日。

空间膨胀时，辐射（如光）的能量除了分布范围扩大（与物质一样），还会直接减少（与物质不同）—— \(E = h c / \lambda\)，\(\lambda\) 会变。

这导致——

辐射能量稀释得比物质更快。
luminosity distance ∝ comoving distance / scale factor.

Virial 定理¶

2023年4月30日。

2.11: Virial Theorem - Physics LibreTexts.

Etymology¶

The word virial derives from vis, the Latin word for “force” or “energy”, and was given its technical definition by Rudolf Clausius in On a Mechanical Theorem Applicable to Heat (1870).

Derivation¶

稳定质点系的平均总动能、势能有限制关系。动能太小则坍缩，动能太大则崩解。

构造

\[ G \coloneqq \sum \vb*{p} \vdot \vb*{r}. \]

稳定系统的 \(G\) 保持有界，从而 \(\dv{G}{t}\) 的时间平均为零。

\[ \begin{split} \dv{G}{t} &= \sum \vb*{p} \vdot \dv{\vb*r}{t} + \sum \dv{\vb*p}{t} \vdot \vb*{r} \\ &= \sum \vb*{p} \vdot \vb*{v} + \sum \vb*F \vdot \vb*{r}. \end{split} \]

注意总动能 \(T = \sum \frac12 m v^2 = \frac12 \sum \vb*{p} \vdot \vb*{v}\)。因此时间平均后，

\[ \overline{T} = -\frac{1}{2} \overline{\sum \vb*F \vdot \vb*r}, \]

其中 RHS 称作 the virial of the system。

若 \(\vb*F\) 保守，且势能 \(U\) 与 \(\vb*r\) 关系为幂律，则 \(\vb*F \vdot \vb* r = \vb*r \vdot \pdv{U}{\vb*r} \propto U\)。平方反比时，比例系数正是一，从而

\[ \overline{T} = - \frac{1}{2} \overline{U}. \]

Application¶

星系组成的星系团（cluster）可看作这种系统。

至少数量级上，\(\overline{T} \approx \frac12 M \overline{v^2}\)，\(\overline{U} \approx -G M^2 / r\)，其中 \(M\) 为星系团总质量，\(r\) 为尺寸——由 virial 定理可确定 \(M, r, \overline{v^2}\) 关系。

观测可知 \(\overline{v^2}, r\)，得 \(M\)。对于后发座星系团（Coma cluster），结果是 \(10^{15} M_\text{sun}\)。然而观测到的星系总质量只有 \(10^{13} M_\text{sun}\)，加上 IGM（intergalactic medium）则是 \(10^{14} M_\text{sun}\)，怎么算都不够。因此一定存在大量暗物质，不然星系团将崩解。