高级数字信号处理¶
§4–§5 采样率转换¶
转换采样率¶
2023年6月1日。
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下采样 \(M \in \Z\) 倍
\(y(m) = x(mM)\) 可理解成两步。
- 先把 \(x(n)\) 取样点以外的点置零（时域乘周期化 \(\delta\)，频域周期混叠）。
- 再把零去掉（时域压紧，频域拉宽，\(z \mapsto z^{1/M}\)）。
\[ \eval{Y}_z = \frac{1}{M} \sum_{k \in \period{M}} \eval{X}_{z^{1/M} W^k}, \]其中 \(W = e^{-2\pi k / M}\)。
频率域
以上是用数字频率 \(\omega\) 讨论。注意转换采样率后，\(\omega\) 与模拟频率 \(\Omega\) 的映射关系改变了，而就 \(\Omega\) 而言，频谱只是变了延拓的周期，所在频率并无变化。
讨论上采样也类似。
为避免信号带外噪声混入信号，下采样前要经抗混叠滤波器。
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上采样 \(L \in \Z\) 倍
\(y(m) = x(m/L)\)，\(m/L \not\in \Z\) 时规定为零。时域插零即频域压缩。
\[ \eval{Y}_z = \eval{X}_{z^L}. \]为尽可能还原信号，上采样后要经抗镜像滤波器。
设计数字滤波器¶
2023年6月1日，2023年6月5日。
原初版本的抗混叠或镜像滤波器都工作在采样率较高的一端，计算量大，对器件要求很高。而且倍数较高时，要求滤波器通带、过渡带很窄，很难实现。事实上都可以改进。
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带宽
通带太宽、太窄都难设计。
可分多级实现，逐级滤波。
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计算量
按改进效果递增有如下方法。
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多相实现
Cooley–Sande–Tukey 算法将一维数据重整为二维，将一次 DFT 化为两次，优先排的维度后 DFT。
转换采样率 \(z^\alpha \mapsto z^\beta\) 时，输入端有一滤波器，如果它可表示为 \(H(z^\alpha)\)，则可等效为输出端的 \(H(z^\beta)\)。这样滤波器的速率、阶数都降低了。
可让靠内的一次 DFT 刚好是这种情况——高速一端原有一路串行转多路并行，每一支路降速到与低速一端一致。这些支路采样率一样，但串并转换时有延时，相位不同，因而称作“多相”。
这种方法除了降速，还同时减少了总乘法次数，减少比例等于采样率转换倍数。
DFT 与滤波
以上讨论 DFT，与需要的滤波还有一定差距。FIR 基本类似，IIR 比较困难。
以上说法可能有误
多相实现可能只与周期时不变系统有关，而和 FFT 完全没关系？
多相实现每一路的时域系数也是抽取的。它没有改进算法，只是删除了没用的计算结果。
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半带
即使 \(2\Z - \qty{0}\) 处的 \(h\) 都为零，少一半系数，也能实现二倍采样率变换所需的滤波。
这和无码间串扰条件数学结构类似，频域条件是频率响应按低速一端的采样率混叠后，响应对所有频率一致。具体到二倍实滤波器，条件是 \(H\)–\(\omega\) 图象在 \(\omega \in (0, \pi)\) 内关于 \(\omega = \pi/2\) 的某点中心对称。
这种滤波器不可能完全保证无混叠或镜像。
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Cascaded integrator-comb
只用加减、延时也能实现滤波。这种滤波器几乎没有计算量，可以用到非常高速的地方。
单级响应
\[ H = \frac{1 - 1 / z^D}{1 - 1/z}. \]- 分子梳状，零点为 \(\omega = 2 \pi \Z / D\)，可等效到低速一端。
- 分母（的倒数）积分，\(y(n) - y(n-1) = x(n)\)，极点为 \(\omega = 2\pi \Z\)。
注意 \(z = 1\) 处 \(H = D\)，\(D\) 可能很大。这可能导致数字滤波器溢出，特别是串联多级后。
单级阻带抑制很差，可串联多级改进，不过那样通带又不平了（带内容差也会积累）。
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后备箱¶
- 离散小波变换中，小波基不完全正交，大尺度（低频）信息包含在小尺度（高频）概貌中。另外，每次分解后会下采样，频率只能递减。
- 区分单级和多级积分梳状滤波器。