数字通信原理¶

\[ \DeclareMathOperator\sinc{sinc} \DeclareMathOperator\erfc{erfc} \newcommand\SI[2]{#1\ \mathrm{#2}} % siunitx (package) \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \]

以下所有 $\Pr(\cdot)$ 中的 $Z$（例：$\Pr(Z > z)$）默认为标准正态随机变量，即 $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$。

§3 随机过程¶

平稳与遍历¶

2022年12月3日。

“信息论与编码”同名小节。

stationary but not ergodic (for any sense)：$Y$ 为一随机变量，$\eval{X}_t \equiv Y$。
wide-sense stationary but neither stationary (for any order) nor ergodic (for any sense)：$\Theta$ 服从 $\qty{0, \frac12\pi, \pi, \frac32\pi}$ 上的均匀分布，$\eval{X}_t = \cos(\omega t + \Theta)$，其中 $\omega > 0$。

§4 信道¶

多径传播的影响¶

2022年12月10日。

信号快衰落（fading）。

单一频率信号：

时域包络不稳定。
频谱弥散。

若信号频带有限宽，有频率选择性衰落。若码元时宽 $T_B$ 超过各路径延时极差 $\Delta\tau_m$ 数倍，带宽 $B$ 小于 $1/\Delta\tau_m$ 数倍分之一，可缓解。

§5 模拟调制系统¶

调幅¶

2022年12月4日–5日。

记基带信号最高频率为 $f_H$。

	带宽ordinary frequency	相干解调信号功率增益	包络检波信噪比增益
Amplitude Modulation	$2 f_H$	$\frac12 \times \frac{P_\text{signal}}{P_\text{carrier} + P_\text{signal}}$	好时同相干解调，坏时崩溃
Double Side Band	$2 f_H$	$\frac12$	✗ 不适用
Single Side Band	$f_H$	$\frac12 \times \frac12 = \frac14$	✗ 不适用
Vestigial Side Band	DSB、SSB 之间	类似 SSB	✗ 不适用

“增益”指接收方解调器两端的增益，不是从发射到接收的增益。
相干解调时，噪声功率都一样：输入中 $n_0 B$，输出中 $\frac14 n_0 B$（$\frac14$ 的来源同 SSB 信号功率）；不过 $B$ 每种方式不一定一样。比较输出信噪比时，应当控制 $f_H$、$n_0$ 相同。
相干解调时，SSB 信号功率增益：第一个 $\frac12$ 因为同相分量的功率只占一半，第二个因为 $\cos^2(\omega_\text{carrier} t)$ 的平均下来只有一半。
AM 包络检波的 $\frac{P_\text{signal}}{P_\text{carrier} + P_\text{signal}}$ 应当理解为 $\overline{m^2} / \qty(A^2 + \overline{m^2})$。因为相对载波而言，$A$ 恒定，信号也算恒定；而长期时间平均时，$A$ 仍恒定，但信号不再能算恒定，平均功率只有峰值功率的一半。

调频和调相¶

2022年12月5日，2022年12月15日。

调相灵敏度 $K_\text{phase} \coloneqq \Delta \varphi / m$。（$m$ 是调制信号的瞬时值，下同）

调频灵敏度 $K_\text{frequency} \coloneqq \dv{\Delta\varphi}{t} / m$。

最大角频偏 $(\Delta\omega)_\text{max}$。
如果是调频，并且输入信号是单频正弦波，则 $(\Delta \omega)_\text{max} = K_\text{frequency} m_\text{max}$。

$(\Delta \omega)_\text{max} \ll \frac\pi6$ 则认为是窄带调频。

若基带信号最高频率为 $\omega_H$，则调制后带宽为 $2 \qty(\omega_H + (\Delta\omega)_\text{max})$。

调频指数 $m_\text{frequency} \coloneqq (\Delta \omega)_\text{max} / \omega_\text{modulate}$。

调频、调相后信号总功率等于载波功率——只是重新分配功率，并不添加功率。

“调制信号”相对载波而言，在通信系统中通常是基带信号。（莫与“已调信号”混淆）

与线性调制相比，这两种非线性调制不止搬移基带信号的频谱，还有弥散。

比较¶

2022年12月5日。

	AM	DSB	SSB	VSB	FM
$B/f_H$	$2$	$2$	$1$	$1+\varepsilon$	$2(1+m_f)$
抗噪声性能	+	++	++	++	++++
功率利用率	+	++	++	++	++++
设备简单度	++++	+++	+	++	+++

§6 数字基带传输系统¶

作为模拟信号的基带信号¶

2022年12月5日。

以二元码为例。记码元重复周期、频率为 $T_B, f_B$（B for baud, named after Émile Baudot）。记两种码元的波形分别为 $g_+, g_-$，出现概率分别为 $p_+,p_-$（$p_+ + p_- = 1$）。认为不同时刻发送的码元相互独立。

稳态部分 $\mathop{\mathbb E} g = p_+g_+ + p_-g_-$

这是确定信号，有周期，频谱离散，导致直流分量、定时分量。无定时分量并不代表无法定时——变换波形后可能存在定时分量。

$\sum \eval{\delta}_{t - \Z T_B} \leftrightarrow f_B \sum \eval{\delta}_{f - \Z f_B}$，故稳态部分的功率谱（不是频谱）如下。

\[ \sum \qty(f_B \mathop{\mathbb{E}} G)^2 \eval{\delta}_{f-\Z f_B}. \]

可以看到，等概率双极性信号无此部分。对于单极性信号，还要看 $\mathop{\mathbb E} G$ 的零点会不会与 $\Z f_B$ 碰撞——不归零的方波谱就全都碰撞了。

交变部分 $g - \mathop{\mathbb E}G$

这是随机信号，有连续功率谱，影响信号带宽。

在每一码元，以 $p_\pm$ 的概率出现 $\pm p_\mp \qty(g_+ - g_-)$。期望当然为零，方差为 $p_+ p_- \qty(g_+ - g_-)^2$。由此大约能得到自相关函数，反正最终功率谱如下。

\[ f_B \times p_+ p_- \qty(G_+ - G_-)^2. \]

可以看到，对于方波，带宽与占空比成反比。

基带信号的编码¶

2022年12月5日，2022年12月15日。

基带信号是与模拟信号紧密相关的数字信号。

编码目标：频谱、定时、纠错。

Alternative Mark Inversion

如其名。

为保证定时分量，需避免连续零，改进为 High Density Bipolar。

连续0 → 00…0V / B0…0V。（保证编码后连零数量不超过 order，order 实用时常取 3）
- V (Violation) 同时满足两个条件：
  - （V之间）交替 ±1 ——保证平均仍是零。
  - 极性与前一号相同（“前一号”包括原有1和新加的V、B）——方便译码。
- V 的两个条件可能矛盾，于是要引入 B (Balance)。

块编码
- 1 binary → 2 binary
  - Manchester 双相码：用上升沿、下降沿区分。
  - Coded Mark Inversion：用有沿、无沿区分。
- x binary → y binary
- x binary → y (pseudo) ternary
  - AMI, HDB.

相对码（aka. 差分码）

这是一种设计，可以和其它编码结合。

码间串扰¶

2022年12月5日，2022年12月15日。

码间串扰（InterSymbol Inference）完全不存在的充要条件如下。

时域：$h$ 在其它抽样时刻（$\Z T_B - \qty{0}$）均为零。
频域：$H$ 以 $f_B$ 为周期延拓后，对所有 $\omega$ 一致。

\[ \begin{array}{crcl} & h \delta &=& h \sum \eval{\delta}_{t - \Z T_B}. \\ \iff& \eval{h}_0 &\equiv& H * f_B \sum \eval{\delta}_{f - \Z f_B}. \\ \iff& \eval{h}_0 T_B &\equiv& \sum \eval{H}_{f - \Z f_B}. \end{array} \]

由频域条件，$2B \geq f_B$，故频带利用率 $\eta \coloneqq \frac{f_B}{B} \leq 2$（这是无码间串扰的必要不充分条件），或者对于 $M$ 元码，$\eta_b \leq 2 \log M$。

$B$ 只算正频率。这里是基带系统，两侧对称分布于 $\omega = 0$ 附近，$2B$ 才是频域等效宽度。

这最小的 $B$ 称作 Nyquist 带宽 $f_N$。（仅限基带系统）

有人说，Nyquist ISI criterion 只是 Nyquist–Shannon sampling theorem 的另一角度。

噪声¶

2022年12月5日。

对于二元信号和 Additive Gaussian White Noise（AGWN），最佳门限电平

\[ V_d^* = \frac{A_+ + A_-}{2} + \frac{{\sigma_n}^2}{A_+ - A_-} \ln \frac{P_-}{P_+}. \]

噪声越强，先验概率影响越大。
谁先验概率大，谁的判定区域大。

信源均匀分布时，$V_d^* = 0$，两个条件误码率一致，总误码率也一致，为 $\Pr(\sigma_n Z > \frac{A_+ - A_-}{2})$。

眼图¶

2022年12月5日。

最佳抽样时刻、最佳判决门限。
抽样失真。
噪声容限。
定时误差灵敏度。

时域均衡¶

2022年12月5日。

目的：抑制码间串扰。

按幅度失真（aka. 峰值失真），要迫零调整。（要求初始失真够小）
按平方失真，应用自适应均衡器，让每一处抽样的误差与抽样值不相关。

评价传输特性¶

2022年12月15日。

码间串扰。
带宽利用率。
时域拖尾情况。

§7 数字带通调制系统¶

二进制数字调制¶

2022年12月9日。

以下判决门限 $V_d^*$、误码率 $P_\text{error}$ 都是在信源均匀分布条件下估计的。

Amplitude Shift Keying¶

特例：On / Off Keying。

调制：

模拟相乘。
数字键控。（用开关电路）

功率谱：将基带信号平移到载频附近，带宽变为原来两倍。

解调：

相干解调。

误码率 $P_e = \Pr(\sigma_n Z > \frac{a}{2})$，其中 ${\sigma_n}^2$ 为噪声功率，$a$ 为信号幅度（$\frac12 a^2$ 为信号功率）。信噪比 $r = \frac12 a^2 / {\sigma_n}^2$，因此

\[ \boxed{P_e = \Pr(Z > \sqrt{\frac{r}{2}})} = \frac12 \erfc\sqrt{\frac{r}{4}}. \]

包络检波。

大信噪比下，最佳门限同相干解调。发送零时，结果服从 Rayleigh 分布，误码率为

\[ \exp(- \frac{(a/2)^2}{2 {\sigma_n}^2}) = e^{-r/4}. \]

发送一时，在大信噪比下，结果服从正态分布，误码率同相干解调。
按旋转向量法可绘出上图。
- 结果是信号叠加噪声。
  - 信号发送零时（绿色）为 $(0,0)$，发送一时（红色）为 $(a,0)$。
  - 噪声服从二维正态分布，均值为零，标准差为 $\sigma_n$，协方差为零。
- 判决边界是紫色圆环。
可以看到，发送零时更容易越过判决边界。
总误码率是二者平均。由于第一项是第二项的高阶无穷小，大信噪比下，

\[ \boxed{P_e = \frac12 e^{-r/4}.} \]

Frequency Shift Keying¶

相当于两路 ASK 叠加。

调制：键控。

功率谱：将基带信号平移到两个载频附近，传输时带宽相当于同等 ASK 带宽加上两载频距离。（解调时因为有带通滤波，噪声谱的范围还和同等 ASK 一样。）

解调：

用两路带通滤波器分解为 ASK，然后各自用 ASK 的方法解调，最后比较。
注意有两路结果，只需比较大小，无需专门设置判决门限。另外差的方差等于方差的和，因此“两路结果之差”的噪声方差是原本的两倍（$2 {\sigma_n}^2$）；同时两种码元的幅度差从 $a-0$ 变成了 $a - (-a)$，变为原来的两倍。综合两点，误码率同 ASK，只需把 $r$ 替换为 $\frac12 r$。

过零检测：将零点转换为脉冲（限幅、微分、整流），展宽脉冲，低通滤波。

Phase Shift Keying¶

改进：Differential PSK（输入决定输出变不变）。

调制：

变换码型为双极性，模拟相乘。
制备反相信号，数字键控。

功率谱：先将基带信号转换为双极性信号，再像 ASK 一样搬移，带宽也是最初两倍，不过信源均匀分布时无离散谱。

解调：

相干解调（aka. 极性比较法）。若是 DPSK，解调后再变换码型。
同 ASK，只需把 $a/2$ 换成 $a$，即 $r$ 换成 $4r$。若是 DPSK，变换码型时，相邻两位任意一个错误都会导致结果错误，误码率小时相当于翻倍。

对于 DPSK，还可比较相位。
将接收信号延时一个码元后与自身相乘，低通滤波，抽样判决。（无需另外变换码型）

这相当于自相干，因此又称“差分相干解调”。不过一般“相干解调”是信号与载波相干，与此不同。

类似 ASK 的包络检波，只需把 $a/2$ 换成 $a$，即 $r$ 换成 $4r$。

横向比较¶

	相干解调	非相干解调（包络检波等）	与 ASK 比较
ASK	$\Pr(\sigma_n Z > \frac{a}{2}) = \Pr(Z > \sqrt{r/2})$	$\frac12 \exp(-r/4)$	✗不适用
FSK	$\Pr(\sqrt2 \sigma_n Z > a) = \Pr(Z > \sqrt{r})$	$\frac12 \exp(-r/2)$	同下，加上两路比较时 ${\sigma_n}^2$ 翻倍
PSK	$\Pr(\sigma_n Z > a) = \Pr(Z > \sqrt{2r})$	✗不适用	两种码元距离从 $a$ 变成 $2a$
DPSK	以上两倍	$\frac12 \exp(-r)$	同上，相干解调再加码型变换

其中 DPSK 的相干解调、全部非相干解调仅限 $r \gg 1$。

	ASK	FSK	PSK / DPSK
抗噪声性能	+	++	+++
频带利用率	++	+	++
适应性	+	++++	+++
功率利用率	+	++	++

设备简单度：非相干解调优于相干解调。

多进制数字调制¶

2022年12月9日。

与二进制相比，提高有效性（$R_b$），牺牲可靠性（抗噪声性能）。

为比较不同体制，用 $r_b \coloneqq \frac12 a^2 / ({\sigma_n}^2 \log M)$ 衡量 $M$ 进制的信噪比。

\[ \frac{E_b R_B}{n_0 B} = \frac{a^2/2}{{\sigma_n}^2 \log M}. \]

对于 ASK、PSK，$B = R_B$。

Quadrature Shift Keying¶

2022年12月9日。

Also known as 4 – phase shift keying.

改进：Offset QPSK，π/4 相移 QPSK，Q Differential PSK（A、B方式）。

调制：（都先串行转并行）

正交调相，模拟相乘。
选择相位。

解调：

相干解调（aka. 极性比较法）。
分两路，分别乘同相、正交载波，后同 2PSK。若是 DPSK，还需变换码型。

对于 DPSK，还可比较相位。
也需要两路。

§9 最佳接收¶

匹配滤波形式¶

2022年12月10日。

目标：最大信噪比。

接收到 $s + n$（$n$ 是 AGWN），传输函数为 $h$，则输出中

信号频谱密度：$HS$。（量纲：[幅度]/[频率]）
噪声功率谱密度：$\frac{n_0}{2} \abs{H}^2$。（量纲：[幅度平方]/[频率]）

瞬时信噪比

\[ \begin{split} r &= \frac {\eval{\abs{s_\text{output}}^2}_{t_0}} {\int \frac{n_0}{2} \abs{H}^2 \dd{f}} \\ &= \frac {\qty(H^*,\ S e^{j\omega t_0})^2} {\frac{n_0}{2} \qty(H,H)} \qq{(inverse Fourier transform)} \\ &\leq \frac {\qty(H^*,\ H^*) \times \qty(S e^{j\omega t_0},\ S e^{j\omega t_0})} {\frac{n_0}{2} \qty(H,H)} \qq{(Cauchy–Schwarz inequality)} \\ &= \frac {(H,H) \times (S,S)} {\frac{n_0}{2} \qty(H,H)} \\ &= \frac{(S,S)}{n_0 / 2} \eqqcolon \frac{E}{n_0/2}. \end{split} \]

$(x,y) = \int x^* y \dd{f}$ 是内积。

$E$ 是码元能量。

取等时， $H$ 可取 $S^* e^{-j\omega t_0}$，即 $h = \eval{s}_{t_0 - t}$。

匹配滤波在 $t_0$ 时刻的输出，与前述相关在 $T_B$ 时刻的输出相同。（要求信源均匀分布）

多电平基带系统¶

2022年12月10日。

设输出端 $M$ 种电平分别为 $\pm d, \pm 3d, \ldots, \pm(M-1)d$。记输出噪声功率为 ${\sigma_n}^2$。

误码有两种可能，在两端为 $\Pr(Z\sigma_n > d)$，在内部为 $\Pr(\abs{Z\sigma_n} > d)$。设信源均匀分布，则总误码率

\[ P_\text{error} = \frac{M-1}{M} \Pr(\abs{Z}\sigma_n > d). \]

信源均匀分布时，输出码元平均能量

\[ E_\text{output} = \overline{\qty((2i-1)d)^2} = \frac{M^2-1}{3} d^2. \]

$1^2 + 3^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac13 n (2n-1)(2n+1)$。

最佳接收时，$\frac12 n_0 = {\sigma_n}^2 / (H,H)$，输入码元平均能量 $E = E_\text{output} / (H,H)$，可转换为输入信噪比：

\[ P_e = \frac{M-1}{M} \erfc\sqrt{\frac{3}{M^2-1} \times \frac{E}{n_0/2 \times 2}}. \]

以上要求 $H$ 能无码间串扰。

§10 信源编码¶

带通信号抽样定理¶

2022年12月10日。

给定 $f_H, B$，若 $f_H = n B'$，$n \in \N_+$，$B' \geq B$，则按 $f_s = 2B'$ 抽样也不会失真，与带宽为 $B'$ 的低通信号一样。

13段折线量化编码¶

2022年12月10日，2022年12月16日。

这是一种脉冲编码调制（Pulse Coded Modulation, PCM），近似不均匀编码的A律（$A = 87.6 \gg 1$，如下），主要用于语音信号。

\[ y = \operatorname{sgn} x \times \begin{cases} \dfrac{A\abs{x}}{1 + \ln A} & \abs{x} \leq A^{-1}. \\ \dfrac{1 + \ln (A\abs{x})}{1 + \ln A} & A^{-1} \leq \abs{x} \leq 1. \\ \end{cases} \]

以 $\abs{x} \leq A^{-1}$ 段的量化间隔为 1。

1位极性码

3位段落对数量化码
000为0..16，001为16..32。从下一段开始，每段长度翻倍。最后一段111为1024..2048。

4位段内均匀量化码
每一段都取 16 个点。000、001的量化间隔是 1。从下一段开始，每段量化间隔翻倍，最后一段111为 64。

编码时向下对齐，译码时按期望估计。

噪声¶

2022年12月15日。

若均匀量化为 $M$ 个电平，则信源在零两侧对称均匀分布时，量噪比 $S_\text{out} / N_\text{quantize}$ 为 $M^2$。

加性噪声在此的信噪比 $S_\text{out} / N_\text{additive} = 1 / (4P_\text{error})$。（$M \in 2^\N$ 时）

§11 信道编码¶

差错控制能力¶

2022年12月10日。

最小码距 $d$、译码策略决定了差错控制能力。

保证正确检测 $e$ 位：$d > e$。
保证正确纠错 $t$ 位：$d > 2t$。
保证正确纠错 $t$ 位，正确检测 $e$ 位（$e > t$）：$d > t+e$。

杂项¶

频带利用率¶

2022年12月4日。

这个利用率是 utilization 而非 efficiency，衡量数字通信系统的有效性。

\[ \eta \coloneqq \frac{R_B}{B}. \]

以上按码元（$\text{Baud}$）衡量，也可按信息（$\text{bit}$）衡量—— $\eta_b \coloneqq R_b / B$。

若符号数为 $M$，则 $R_b = R_B \log M$。

量纲¶

2022年12月4日，2022年12月10日。

其中功率、能量是指归一化功率、归一化能量。

`[幅度]`	`[功率] = [幅度平方]`	`[能量] = [幅度平方]×[时间]`	关系
$\sigma_n$	噪声功率或方差 ${\sigma_n}^2$	噪声功率谱密度 $n_0$	${\sigma_n}^2 = n_0 B$
信号振幅 $a$	信号功率 $S$	信号能量 $E$	$E = ST_B$，$S = \frac12 a^2$
信号 $x$	自相关函数 $R$	功率谱密度 $P$	$R = \mathbb{E}[\eval{x}_{t_1} \eval{x}_{t_2}] \leftrightarrow P$

[时域物理量]×[时间] = [频域物理量]。

角频率与频率度量的频域¶

2022年11月8日，2022年12月13日，2022年12月15日。

$ω = 2π f$，$ω$ 与 $f$ 数值并不相同，但表示相同的复指数信号。就像 $v = \SI{36}{km/h}$ 与 $v = \SI{10}{m/s}$ 里的 $36 ≠ 10$，却表示相同速度。
$\eval{X}_\omega$ 与 $\eval{X}_f$ 是不同的数学函数，但表示相同的信号。

$X$ 是个 $\R \to \C$ 函数，自变量是频率，因变量是频谱密度。$\eval{X}_\omega$ 与 $\eval{X}_f$ 的自变量数值不同（前者用角频率 $\omega$ 度量，后者用频率 $f$ 度量），因变量相同。$\eval{X}_f = \eval{X}_{\omega = 2\pi f}$ 给出了自变量的换算关系，它永远成立。
```
flowchart LR
    subgraph 频率
        ω -.-|"ω = 2π×f"| f
    end

    subgraph 频谱密度
        X
    end

    ω -->|"X(ω)"| X
    f -->|"X(f)"| X
```
这里为了更清楚，写成 $\eval{\tilde{X}}_\omega$ 与 $\eval{X}_f$，则 $\eval{X}_f = \eval{\tilde X}_{2\pi f}$。（实际因变量是重点，自变量不写都行，没必要区分）

比如逆 Fourier 变换：

\[ \begin{split} \eval{x}_t &= \int\limits_\R {\color{red} \eval{\tilde X}_\omega} e^{j\omega t} \frac{\dd{\omega}}{2\pi} \\ &= \int\limits_\R \eval{\tilde X}_{\color{red} 2\pi f} e^{j (2\pi f) t} \frac{\dd{(2\pi f)}}{2\pi} \qq{($\omega \mapsto f = 2\pi f$)} \\ &= \int\limits_\R \eval{\tilde X}_{2\pi f} e^{2\pi j f t} \dd{f} \\ &= \int\limits_\R {\color{red} \eval{X}_{f}} e^{2\pi j f t} \dd{f}. \qq{($\tilde X \mapsto X$)} \\ \end{split} \]

这也会影响卷积：

\[ \begin{split} & \frac{1}{2\pi} \int\limits_\R \eval{\tilde X}_{\omega'} \eval{\tilde Y}_{\omega - \omega'} \dd{\omega'} \\ &= \int\limits_\R \eval{\tilde X}_{2\pi f'} \eval{\tilde Y}_{2\pi (f-f')} \frac{\dd{(2\pi f')}}{2\pi} \\ &= \int\limits_\R \eval{X}_{f'} \eval{Y}_{f-f'} \dd{f'}. \end{split} \]
Dirac $δ$ 是 $\sin$、$\exp$ 一样的数学函数，和信号没关系，它的定义只有一种形式—— $\int_\R \eval{\delta}_x \dd{x} = 1$。

如果已有 $\eval{\tilde X}_\omega$，其中含 $\eval{\delta}_\omega$，想写出 $\eval{X}_f$，那直接把自变量全换了，变成 $\eval{\delta}_{2\pi f}$ 就好了。不过人们习惯于写 $\frac{1}{2\pi} \eval{\delta}_f$ 而非 $\eval{\delta}_{2\pi f}$，就像把 $\cos(2x)$ 整理成 $1 - 2\sin^2 x$。

Fourier 参数之间的关系¶

2022年8月31日。

“数字信号处理”同名小节。

频域可用频率 $f$ 或角频率 $\omega$ 度量。

\[ \begin{aligned} \eval{X^{(f)}}_{f} &= \eval{X^{(\omega)}}_{2\pi f}. \\ 2\pi \dd{f} &= \dd{\omega}. \\ \end{aligned} \]

这是频域的两种度量，不涉及 Fourier 变换的对偶性。

例如设 $x = \sum \eval{\delta}_{t - \Z T_0}$，则

\[ \begin{aligned} X^{(\omega)} &= \omega_0 \sum \eval{\delta}_{\omega - \Z \omega_0}. \\ X^{(f)} &= f_0 \sum \eval{\delta}_{f - \Z f_0}. \\ \end{aligned} \]

$\omega_0 T_0 = 2\pi$，$f_0 T_0 = 1$。

注意 $\eval{\delta}_{2\pi f} = \frac{1}{2\pi} \eval{\delta}_f$，因为 Dirac $\delta$ 的定义里有个积分。

正态分布的累积分布¶

2022年12月4日，2022年12月5日。

$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$，则

\[ \Pr(Z > z) = \frac12 \erfc \frac{z}{\sqrt 2}. \]

其中

\[ \erfc x \coloneqq \frac{2}{\sqrt\pi} \int\limits_x^{+\infty} e^{-u^2} \dd{u}. \]

这是 $x \to + \infty$ 下的无穷小量。诈唬使用 L’Hospital 法则，能得到

\[ \frac{\int\limits_{x}^{+\infty} e^{-au^2} \dd{u}} {e^{-ax^2}} \approx \frac{-e^{-ax^2}}{-2ax \times e^{-ax^2}} = \frac{1}{2ax}. \]

可以严谨证明 $\int_{u\geq x} \exp(-au^2) \dd{u} \sim \exp(-ax^2) / \qty(2ax)$。

\[ \lim \frac{\int\limits_{x}^{+\infty} e^{-au^2} \dd{u}} {\frac{1}{2ax} e^{-ax^2}} = \lim \frac{- e^{-ax^2}}{\qty(\frac{-2ax}{2ax} - \frac{1}{2ax^2}) e^{-ax^2}} = \lim \frac{1}{1 + \frac{1}{2ax^2}} = 1. \]

带宽¶

2022年12月9日，2022年12月10日，2022年12月13日。

信号的功率谱、频率千姿百态，带宽只是一个数字特征。门函数大约是带宽歧义最少的谱。

习惯上只算正频率。因此基带系统中的带宽往往是调制后的一半。

等效带宽

$B_\omega \coloneqq \int_\R X \dd{\omega} / \eval{X}_{\omega=0}$，$B_f$ 同理。在中心处数值不变、积分相等的意义下，等效为门函数。

这是良定义，应用于几乎所有谱都合理，而且若类似定义等效时宽，则两域宽度严格成反比。

\[ \begin{split} B_f B_t &\coloneqq \frac{\int_\R X \dd{f}}{\eval{X}_{f=0}} \times \frac{\int_\R x \dd{t}}{\eval{x}_{t=0}} \\ &= \frac{\int_\R X \dd{f}}{\eval{x}_{t=0}} \times \frac{\int_\R x \dd{t}}{\eval{X}_{f=0}} \\ &= 1 \times 1 = 1. \end{split} \]

谱零点带宽

在中心处数值不变、两侧首个零点不变的意义下，等效为门函数。

主要用于 $\sinc$ 式频谱，它的谱零点带宽是等效带宽的两倍。又名主瓣带宽。

给定信号，用滤波器去除噪声。若按等效带宽滤波，信号往往被削掉太多，按谱零点带宽就好一些。

下面是一些案例。

无码间串扰限制下，频域最窄时为门函数，时域为 $\sinc$ 型。按任意带宽计算，$B = \frac12 R_\text{Baud}$。

基带信号标准时域脉冲为门函数（i.e. 不归零矩形脉冲），频域为 $\sinc$ 型。按谱零点带宽算，$B = R_\text{Baud}$。

不过发送出去之前，往往还用滤波器均衡一下码间串扰。这里若用理想低通滤波器，带宽又是上面的了。

模型与结构¶

2022年12月14–15日。

通信系统¶

flowchart LR
    subgraph 发送端
        信源 --> 发送设备
    end
    发送设备 --> 信道 --> 接收设备
    噪声源 --> 信道
    subgraph 接收端
        接收设备 --> 信宿
    end

按信道中信号形式，分为模拟、数字通信系统。

模拟
发送设备是调制器，将基带信号转为已调信号；接收设备是解调器。

数字

信源、信宿旁有信源压缩编码，信道旁有信道差错控制编码，二者之间还有密码。

如果是数字调制系统（而非数字基带系统），同样有数字版本的调制、解调（键控，Shift Keying）。

flowchart LR
  信源 -.-> 信道编码 --> 数字调制
  subgraph 编码信道["编码信道（广义信道）"]
      数字调制 --> 调制信道["调制信道<br>（狭义信道）"] --> 数字解调
  end
  数字解调 --> 信道译码 -.-> 信宿

模拟调制系统¶

调制：

AM：加上 $A_0$ 再乘 $\cos(\omega_c t)$。
DSB：似上，去掉 $A_0$。
SSB：似上，滤波。另法移相再相乘。
VSB：似 DSB，滤波。

解调：

相干解调：乘载波，低通滤波。
包络检波：电容单向充放电。

数字基带系统¶

接收设备：

flowchart LR
    信道 -.-> 接收滤波器 --> 同步提取 --> 抽样判决 -.-> 输出
    接收滤波器 --> 抽样判决

数字调制系统¶

调制：

模拟相乘。
数字键控。

解调：

flowchart LR
    信道 -.-> 带通滤波 --> 处理["非相干解调：全波整流<br>相干解调：乘载波"] --> 低通滤波 --> 抽样判决 -.-> 输出
    定时脉冲 --> 抽样判决

QPSK 更具体实现见前面§7。

最佳接收¶

相关形式：分多路，相乘，积分（信号→数），偏置，比较。有时可省略一路；信源均匀分布时无需偏置。
匹配滤波形式：滤波，等到抽样时刻，比较。

后备箱¶

用 $\sin$ 表示 $\sinc$ 时，若求 $0$ 处的函数值，不能只看分子。
区分 $\omega$ 和 $f$，例如带宽。
Baud 率描述码元，信息速率描述信息，多电平信号时二者不一致。
区分每信息能量 $E_b$ 和每码元能量 $E$。
$\sum \eval{\delta}_{t - \Z T_0} = \omega_0 \sum \eval{\delta}_{\omega - \Z \omega_0} = f_0 \sum \eval{\delta}_{f - \Z f_0}$，有个系数。
平顶抽样也时变：它是理想抽样经线性时不变系统，而理想抽样当然时变。
注意信号有几路。
“最小码距 > 纠正位数 + 检测位数”只在“检测位数 > 纠正位数”时有意义。
线性分组码中，全零码总许用。
区分卷积和相关。一般写为相关更方便用计算器。
基带系统判决后时域均衡，若要衡量失真，应考虑所有输出，而不只是输入对应的那些输出。
功率谱密度有个平方，通过线性时不变系统前后倍数也是平方。
单边带移相调制有个 $1/2$：$\cos x \cos y = \frac12 \qty(\cos(x+y) + \cos(x-y))$。
模拟调制系统中，区分原始基带信号功率、发射机发送功率、接收机接收功率。前两者可相差一倍。
给定传输特性，无码间串扰对码率的限制是一些离散点，而非连续区间。
差分相干解调确实有“干涉”，但从无需载波、误码率、比较相位等方面看，应该算非相干解调。

基带系统体制	\(\Delta E\)
单极性	\(E_b\)
双极性	\(4 E_b\)

带通系统体制	\(\Delta E\)
2ASK	\(E_b\)
2FSK	\(2 E_b\)
2PSK	\(4 E_b\)

`[幅度]`	`[功率] = [幅度平方]`	`[能量] = [幅度平方]×[时间]`	关系
\(\sigma_n\)	噪声功率或方差 \({\sigma_n}^2\)	噪声功率谱密度 \(n_0\)	\({\sigma_n}^2 = n_0 B\)
信号振幅 \(a\)	信号功率 \(S\)	信号能量 \(E\)	\(E = ST_B\)，\(S = \frac12 a^2\)
信号 \(x\)	自相关函数 \(R\)	功率谱密度 \(P\)	\(R = \mathbb{E}[\eval{x}_{t_1} \eval{x}_{t_2}] \leftrightarrow P\)

	带宽ordinary frequency	相干解调信号功率增益	包络检波信噪比增益
Amplitude Modulation	\(2 f_H\)	\(\frac12 \times \frac{P_\text{signal}}{P_\text{carrier} + P_\text{signal}}\)	好时同相干解调，坏时崩溃
Double Side Band	\(2 f_H\)	\(\frac12\)	✗ 不适用
Single Side Band	\(f_H\)	\(\frac12 \times \frac12 = \frac14\)	✗ 不适用
Vestigial Side Band	DSB、SSB 之间	类似 SSB	✗ 不适用

	AM	DSB	SSB	VSB	FM
\(B/f_H\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(1+\varepsilon\)	\(2(1+m_f)\)
抗噪声性能	+	++	++	++	++++
功率利用率	+	++	++	++	++++
设备简单度	++++	+++	+	++	+++

	相干解调	非相干解调（包络检波等）	与 ASK 比较
ASK	\(\Pr(\sigma_n Z > \frac{a}{2}) = \Pr(Z > \sqrt{r/2})\)	\(\frac12 \exp(-r/4)\)	✗不适用
FSK	\(\Pr(\sqrt2 \sigma_n Z > a) = \Pr(Z > \sqrt{r})\)	\(\frac12 \exp(-r/2)\)	同下，加上两路比较时 \({\sigma_n}^2\) 翻倍
PSK	\(\Pr(\sigma_n Z > a) = \Pr(Z > \sqrt{2r})\)	✗不适用	两种码元距离从 \(a\) 变成 \(2a\)
DPSK	以上两倍	\(\frac12 \exp(-r)\)	同上，相干解调再加码型变换

数字通信原理¶

§3 随机过程¶

平稳与遍历¶

§4 信道¶

多径传播的影响¶

§5 模拟调制系统¶

调幅¶

调频和调相¶

比较¶

§6 数字基带传输系统¶

作为模拟信号的基带信号¶

基带信号的编码¶

码间串扰¶

噪声¶

眼图¶

时域均衡¶

评价传输特性¶

§7 数字带通调制系统¶

二进制数字调制¶

Amplitude Shift Keying¶

Frequency Shift Keying¶

Phase Shift Keying¶

横向比较¶

多进制数字调制¶

Quadrature Shift Keying¶

§9 最佳接收¶

相关形式¶

概念¶

结构¶

误码率¶

匹配滤波形式¶

多电平基带系统¶

§10 信源编码¶

带通信号抽样定理¶

13段折线量化编码¶

噪声¶

§11 信道编码¶

差错控制能力¶

杂项¶

频带利用率¶

量纲¶

角频率与频率度量的频域¶

Fourier 参数之间的关系¶

正态分布的累积分布¶

带宽¶

模型与结构¶

通信系统¶

模拟调制系统¶

数字基带系统¶

数字调制系统¶

最佳接收¶

后备箱¶

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