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科学与工程计算

\[ \def\dif{\mathop{}\!\mathrm{d}} \def\Order{\mathcal{O}} \]

§1 两点边值问题

话题

2024年9月26日。

本课入口之一是（一维）两点边值问题，主要是二阶非齐次线性可变系数常微分方程：

\[ \begin{aligned} y'' + p y' + q y = f, x \in (0,l). \\ \eval{y}_{x=0} = \alpha, \quad \eval{y}_{x=l} = \beta. \end{aligned} \]

一般要求 \(\forall x, q \leq 0\)，这是为了解存在且唯一。其道理大致如下：

  1. 为简单，我们考虑齐次版本，或者说考虑解结构中的齐次部分。

  2. 通过凑 \(y'' + p y'\) 的微分，相应齐次方程可重述为 Sturm–Liouville 问题：\(\mathcal{L} y = \lambda y\)，其中特征值 \(\lambda = 1\)，算子

    \[ \mathcal{L} y = \frac{1}{-q} \left(e^{\int p \dif x}\, y'\right)'. \]

    （这里之所以用 \(-q\) 而非 \(+q\)，是为了能作后面内积的权重。）

    这种问题可看作 \(\mathcal{L}\) 的特征分析问题——研究 \(1\) 是不是 \(\mathcal{L}\) 的特征值。

  3. 两次分部积分，用齐次边界条件扔掉余项，可证明 \(\mathcal{L}\) 在内积 \((\square, \triangle) \mapsto \int \square \triangle (-q) \dif x\) 的意义下 self-adjoint，因此特征值非负，\(1\) 基本上是特征值，解正常存在。

  4. 假设 \(q > 0\)，那内积和 \(\mathcal{L}\) 定义中的 \(-q\) 要改为 \(+q\)，齐次方程化出来是 \(\mathcal{L} y = -y\)，说明 \(\mathcal{L}\) 有特征值 \(-1\)，与它 self-adjoint 矛盾，故解不存在。

这种做法还有助于理解变分法。

差商的误差

2024年9月26日。

用差商代微商难免有误差，估计误差的量级很有用。

例如二阶差商 \((y_{i+1} - 2 y_i + y_{i-1}) / h^2\)：

  • \(y\) 是常数、一次函数时它都相互抵消为零；
  • \(y\) 是二次函数时它等于二次项系数的两倍，故可用于近似二阶导数。
  • \(y\) 是三次幂函数时它等于 \((h^3 - 0 + (-h)^3) / h^2 = 0\)，故误差没有三阶项。
  • \(y\) 是四次幂函数时它等于 \((h^4 - 0 + h^4) / h^2 = 2 h^2\)，故误差是 \(2 h^2 / 4! = h^2/12\) 倍四阶导数量级。

（这种方法算出的误差满足“差商 = 微商 + 误差”，是其它定义的相反数。）

§2 初值问题

2024年10月17日。

常微分方程的解可能包含快慢不同的分量，这种特点称作刚性（stiff）。对于显式格式，步长选小则要为慢变分量等待很久，步长选大则快变分量可能爆炸，都不合适。为此采用稳定性更好的隐式格式，例如以下两种。

显隐

显式与隐式的区别在于显式直接代入计算就能得到下一层，而隐式需要联立解方程组。另外，若不能直接代入，但可分开解方程，无需联立，则称作半隐式。

  • 隐式 Runge–Kutta 法

    Runge–Kutta 法有一整族。对于一阶常微分方程（组）的初值问题，它的要义是走若干小步（节点），用各小步处导数的线性组合（权重）近似这一步的平均增长率，即增量比步长。其中的导数由微分方程给出，可惜涉及未知的函数值，于是这函数值又只好再用导数的另一套线性组合（系数）近似。

    节点、权重、系数这些参数决定了具体方法的显隐和特性。按照 Gauss、Radau、Lobatto 等各种标准（求积公式，quadrature），可推出一系列参数组合。

  • 向后差分法（backward differentiation formula, BDF）

    线性多步法（linear multistep method）也有一整族。对于一阶常微分方程的初值问题，它的思路是利用过去多步函数值的线性组合近似这一步的增量，拟合标准用微分方程给出的导数衡量。

    BDF是一类特定的线性多步法，它用到的函数值包括过去多步和待求的下一步，衡量标准只利用下一步这一步的导数。具体来说，函数值的线性组合对应于一多项式（相当于 Lagrange 插值），BDF要求这多项式在下一步的导数严格满足微分方程。

    BDF所用步数可按需要选择。步数越少越稳定，步数越多约精确。

§4 抛物（扩散）方程的差分格式

适定性

2024年10月21日。

  • 微分方程初值问题适定（well-posed）：解唯一存在，解对初始条件稳定。
  • 差分方程对初值或右端项稳定：原始资料或计算机舍入造成的误差不会肆无忌惮地掩盖真实结果。
  • 差分方程与微分方程相容：方程的局部截断误差是步长的无穷小。
  • 差分方程收敛：差分方程的解在步长趋于零时趋于微分方程的真解。

局部截断误差

局部截断误差（local truncation error）这一术语不是白给的。将微分方程用差分方程近似时，单步迭代中（局部，不计入累积）删去高阶项（截断）会导致微分方程不再严格成立。这种差分方程与微分方程之间的差别（误差）称作局部截断误差。

稳定性谈局部截断误差，还算容易分析；而收敛性解的误差，涉及迭代积累扩散，讨论麻烦。Peter Lax的等价定理告诉我们不必如此——如果初值问题线性适定，且差分方程相容，那么稳定性和收敛性等价。

格式

2024年11月7日。

图例：

  • 计算量：显😀、隐（默认）。
  • 相容性：相容（默认）、条件相容👻。
  • 稳定性：绝对稳定🎯、条件稳定🎲、绝对不稳定💣。
  • 局部截断误差：\(\Order(\tau + h^2)\) 1️⃣、\(\Order(\tau^2 + h^2)\) 1️⃣⁺、\(\Order(\tau^2 + \tau h^2 + h^4)\) 2️⃣。
flowchart LR
    subgraph 三层
        Richardson[Richardson😀<br>💣1️⃣⁺]
        dff[Du Fort–Frankel/三层显😀<br>👻🎯1️⃣⁺]
        一种三层隐[一种三层隐<br>🎯1️⃣⁺]
        另一种三层隐[另一种三层隐<br>🎯1️⃣⁺]
    end
    subgraph 双层
        最简显[最简显😀<br>🎲1️⃣]
        最简隐[最简隐<br>🎯1️⃣]
        cn[Crank–Nicolson<br>🎯1️⃣⁺]
        加权隐[加权隐<br>🎯/🎲，特定θ2️⃣]
    end

    最简隐 -->|½| cn -->|θ| 加权隐
    最简显 -->|δₜ 改为中心差分| Richardson
    最简显 -->|½| cn -->|双层| 另一种三层隐

    Richardson -->|中心点改为t平均<br>人工黏性| dff
    Richardson -->|∂ₜ 改用单边| 一种三层隐
    Richardson -->|∂ₓ² 改为t平均| 另一种三层隐

其它思路：

  • Richardson/华罗庚外推：2️⃣。

  • 多步/交替显隐（alternating–direction implicit, ADI）:

    • 预测–校正：基础版同 Crank–Nicolson，支持非线性。
    • 跳点：基础版同 Du Fort–Frankel，需要内存少。

    高维（空间高维，时间还是一维）时常用，因为单独显、隐的缺点都会被严重放大，不如交替。具体有以下三种方法。它们用于二维时在数学上等价，但具体计算过程不同，从而各有特色。

    • Peaceman–Rachford：先 \(x\) 隐 \(y\) 显，再 \(x\) 显 \(y\) 隐。只能二维。
    • Douglas：先所有维一起走一小步，然后每维依次走一小步，每小步会用到上一小步和上一大步的结果。能推广到三维。
    • 局部一维：每维依次用Crank–Nicolson走一小步，每小步只用到上一小步的结果。能推广到三维。

§5 双曲（波动）方程的差分方法

一阶对流方程的格式

2024年11月13日。

利用特征线或 \(\oint\) 构造格式。

图例：

  • 计算量：显😀、隐（默认）。
  • 相容性：相容（默认）、条件相容👻。
  • 稳定性：绝对稳定🎯、条件稳定🎲、绝对不稳定💣。
  • 局部截断误差：\(\Order(\tau + h)\) 1️⃣、\(\Order(\tau + h^2)\) 1️⃣⁺、\(\Order(\tau^2 + \tau h + \tau h^2)\) 2️⃣。
flowchart LR
    subgraph 三层
        蛙跳[蛙跳😀<br>🎲2️⃣]
    end
    subgraph 双层
        迎风[迎风😀<br>🎲1️⃣]
        最自然[空间中心差分😀<br>💣1️⃣⁺]
        LF[Lax–Friedrichs😀<br>🎲1️⃣⁺]
        LW[Lax–Wendroff😀<br>🎲2️⃣]
        最简隐[最简隐<br>🎯1️⃣⁺]
        CN[Crank–Nicolson<br>🎯2️⃣]
    end

    最自然 -->|中心点改为x平均| LF -->|用 ∂ₓ² 添加 ∂ₜ²<br>三点插值| LW
    迎风 -.-|两插值点选取不同<br>人工黏性强弱不同| LF -->|∂ₜ 改为中心差分| 蛙跳
    最简隐 -->|½| CN
    最自然 -->|½| CN

§8 变分问题

2024年11月20日。

变分基本引理：只有 \(\vb*{0} \vdot \vb*{x} = 0\) 才能恒成立。

变分原理：以下三种问题等价。

  • 平衡力：微分方程，要求二阶连续可导。
  • 极小势能：泛函极值问题，要求一阶连续可导，且存在能量。对应Ritz近似计算方法。
  • 零虚功：方程恒成立问题，要求一阶连续可导。对应Galerkin近似计算方法。

近似计算需要选取基。基选得好则求解简单，然而构造基也很难。最好是微分方程里算子的本征基，较好是插值基，再差是处处不为零的混乱基。插值基对应的方法称作有限元。

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