复变函数与数理方程
\[
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\Rho{Ρ}
\def\oiint{∯}
\]
A§3 积分
化不解析函数为解析函数
2021年12月12日。
求 \(\int_{\abs{z} = 2}\frac{\dd{z}}{\abs{z-1}^2}\)，如果不想用参数方程，那需要构造一个在围道上与被积函数相等（其它地方不总相等）的解析函数。\(\abs{z-1}^2\) 是二次的，不好处理，先转化成 \((z-1)\overline{z-1}\)，解决共轭。
最原始的思路是单位复数的性质 \(\bar z = \frac{1}{z}\)，这里也仿照它。围道的圆心是 \(0\)，故先凑个 \(\bar z\) 出来。
\[
\overline{z-1} = \overline{z}-1。
\]
围道的半径是 \(2\)，故
\[
\bar z = \frac{4}{z}.
\]
于是被积函数化为
\[
\frac{1}{(z-1) \qty(\frac{4}{z} - 1)}
= \frac{z}{(z-1)(4-z)}.
\]
后边随便做就行了。
2021年12月17日。
\[
\frac{\dd{z}}{z} = \dd{\operatorname{Ln}}z = \dd{\abs{z}} + i\dd{\arg z}.
\]
§4 级数
最简单的例子
2021年10月15日。
\[
\begin{aligned}
&\frac{1}{1-z} = z + z^2 + z^3 + \cdots &= \sum_{n=0}^{+\infty} z^n, &\quad \abs{z} < 1. \\
&\frac{1}{1-z} = -\frac1z - \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z^3} + \cdots &= -\sum_{n=-1}^{-\infty} z^n, &\quad \abs{z} > 1. \\
\end{aligned}
\]
A§5 留数
其它方法
2021年10月23日。
113页习题五10(1)。
\(C: \abs{z} = 3\)。
\[
\begin{split}
&\oint\limits_C \frac{z^{15} \dd{z}} {\qty(z^2-1)^2 \qty(z^4+2)} \\
&= \oint\limits_{2C} \frac{u^{7} \dd{\frac u2}} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)}
\qquad (u=z^2) \\
&= \oint\limits_{C} \frac{u^{7} \dd{u}} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} \\
&= - 2\pi i\ \Res(\frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)}, \infty) \\
&= 2\pi i \cross \text{“} \frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} \text{在$\infty$的展开式中$\frac 1u$的系数”}. \\
\end{split}
\]
注意
\[
\begin{split}
\frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)}
&= \frac{u^3} {\qty(1 - \frac 1u)^2 \qty(1 + \frac{2}{u^2})} \\
&= u^3 \qty(1 - \frac{1}{u})^{-2} \qty(1 + \frac{2}{u^2})^{-1} \\
&= u^3 \qty(\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{-2}{n} \frac{(-1)^n}{u^n}) \qty(\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{ (-2)^m}{u^{2m}}). \\
\end{split}
\]
\(\dfrac{1}{u}\) 对应的 \((n,m)\) 为 \(\{(0,2), (2,1), (4,0)\}\)，相应系数如下
\[
\begin{array}{c|c}
n & m & \binom{-2}{n} (-1)^n
& (-2)^m & \text{最终系数} \\
\hline
0 & 2 & 1
& 4 & 4\\
2 & 1 & \frac{(-2)\times (-3)}{1 \times 2} = 3
& -2 & -6\\
4 & 0 & \frac{(-2) \times \cdots \times(-5)}{4!} = 5
& 1 & 5\\
\end{array}
\]
故上述系数是 \(4-6+5 = 3\)，进而得原式为 \(6\pi i\)。
B§1 建立方程
2021年11月7日。
- 方程：
- 波动方程： \(\pdv[2]{u}{t} = v^2 \pdv[2]{x}{t}\)。
- 扩散方程：\(\pdv{u}{t} = \alpha^2 \pdv[2]{x}{t}\)。
- 边界条件：\(u,\pdv{u}{x}\) 及其线性组合。
- 初始条件。
B§2 分离变量法
齐次方程、齐次边界条件
2021年11月7日，2021年11月12日。
设 \(\eval{u}_{x,t} = \eval{X}_x \eval{T}_t\)，则齐次方程化为两个特征值问题。
非齐次问题
2021年11月12日。
B§3 行波法和积分变换法
此章研究无界域的问题。
行波法
2021年11月12日。
\[
\pdv{f}{\xi}{\eta} = 0
\implies f = f_1(\xi) + f_2(\eta).
\]
\(\xi,\eta = x \pm v t\)。
\(\pdv{x} = \pdv{\xi} + \pdv{\eta}\)，\(\frac{1}{v} \pdv{t} = \pdv{\xi} - \pdv{\eta}\)。
特征线法
2021年12月12日。
波动是沿特征线传播的。
\[
\begin{split}
A\pdv[2]{x} + 2B \pdv{}{x}{y} + C \pdv[2]{y} +\\
2D\pdv{x} + 2E\pdv{y} + F = 0.
\end{split}
\]
这个方程的特征线满足 \(A(\dd{y})^2-2B\dd{y}\dd{x} + C(\dd{x})^2 = 0\)。
将两条特征线的方程中的常数设为新的变量，可去除 \(\partial^2_{xx}, \partial^2_{yy}\) 项。
达朗贝尔公式：
\[
u = \frac{1}{2} \sum \eval{u}_{t=0,\ x=x\pm vt}
+ \frac{1}{2} \int\limits_{x-vt}^{x+vt} \eval{\frac{1}{v} \pdv{u}{t}}_{t=0,\ x=\xi} \dd{\xi}.
\]
积分变换法
2021年12月12日。
\(\mathcal{F}\) 需要函数在 \(\R\) 上有定义，\(\mathcal{L}\) 则是 \(\R^+\)。
B 杂项
\(\nabla\)
2021年11月7日。
\[
\laplacian = \frac{1}{J} \sum_i \pdv{u_i} \frac{J}{h_i^2} \pdv{u_i}.
\]
\(h_i\) 是 scale factors；\(J\) 是 Jacobian 行列式，等于 \(\prod_i h_i\)。
对于极坐标，\(\va*{u} = (r,\theta)\)，\(\va*{h} = (1, r)\)，于是
\[
\begin{split}
\laplacian
&= \frac{1}{r} \pdv{r}(r \pdv{r}) + \frac{1}{r} \pdv[2]{\theta} \\
&= \pdv[2]{r} + \frac{1}{r} \pdv{r} + \frac{1}{r} \pdv[2]{\theta}.
\end{split}
\]
常微分方程
欧拉方程
2021年11月12日。
\[
\sum_i x^i \dv[i]{x} = 0.
\]
令 \(x = e^t, x\dv{x} = \dv{t}\) 可转化为常系数方程。
\[
\begin{split}
x^2 \dv[2]{x}
&= x^2 \dv{t} \dv{x} \\
&= x^2 \dv{x}(\frac{1}{x}\dv{t}) \\
&= -\frac{x^2}{x^2} \dv{t} + x \dv{t} \dv{t} \\
&= \dv[2]{t} - \dv{t}.
\end{split}
\]
\(\rho^2 \Rho'' + \rho \Rho' = n^2 \Rho\) 的解是 \(1,\ln \rho\)（\(n = 0\)）或 \(\rho^{\pm n}\)（\(n \neq 0\)）的线性组合。
线性非齐次常系数微分方程
2021年11月12日。
线性非齐次常系数微分方程可用常数变易法得特解。
\(y'' + \omega^2 y = f(x)\)，\(\eval{y}_{x=0} = 0\)，\(\eval{\dv{y}{x}}_{x=0} = 0\) 的一个特解是
\[
y = \frac{1}{\omega} \int\limits_0^x f(t) \sin(\omega(x-t)) \dd{t}.
\]
2021年12月13日。
要解如下常微分方程，初始条件为 \(\eval{y}_0=0, \eval{y'}_0 =0\)。
\[
y'' + k^2 y = f.
\]
\(ki\) 是特征根之一，构造 \(u = y/e^{ikx}\)，则
\[
\left\{\begin{array}{r}
y &=& e^{ikx} u \\
y' &=& ike^{ikx}u &+& e^{ikx}u' \\
y'' &=& -k^2 e^{ikx}u &+& 2ike^{ikx}u' &+& e^{ikx} u'' \\
\end{array}\right..
\]
代入初始条件，得到 \(\eval{u}_0 = 0, \eval{u'}_0\)。
代入原方程，得到
\[
\begin{split}
& 2ik e^{ikx} u' + e^{ikx} u'' = f. \\
\implies& u'' + 2iku' = e^{-ikx}f.
\end{split}
\]
这是关于 \(u'\) 的一阶微分方程，可以凑微分了：
\[
\qty(e^{2ikx}u')' = e^{ikx} f.
\]
现在一点儿一点儿积分回去。
\[
\begin{split}
e^{2ikx} u'
&= 0+ \int\limits_0^x \eval{\qty(e^{2ikx}u')'}_\xi \dd{\xi} \\
&= \int\limits_0^x e^{ik\xi} \eval{f}_\xi \dd{\xi}. \\
\end{split}
\]
再来一次。
\[
\begin{split}
u &= 0 + \int\limits_0^x \eval{u'}_\eta \dd{\eta} \\
&= \int\limits_0^x \dd{\eta} e^{-2ik\eta}
\int\limits_0^\eta \dd{\xi} e^{ik\xi} \eval{f}_\xi \\
&= \int\limits_0^x \dd{\eta} \int\limits_0^\eta \dd{\xi}
e^{ik (\xi-2\eta)} \eval{f}_\xi.
\end{split}
\]
最后结果……
\[
\int\limits_0^x \dd{\eta} \int\limits_0^\eta \dd{\xi}
e^{ik (x+\xi-2\eta)} \eval{f}_\xi.
\]
(⊙﹏⊙)
还是用冲量法或积分变换法吧……
B§4 格林函数法
2021年11月27日。
Method of Green’s Functions - 18.303 Linear PDEs
格林公式
此为第二格林公式。
对于 \(\R^n \to \R\) 函数 \(\phi,\psi\)，
\[
\begin{aligned}
\div(\phi \grad\psi ) = \grad\phi \vdot\grad\psi + \phi \laplacian\psi. \\
\div(\psi \grad\phi ) = \grad\psi \vdot\grad\phi + \psi \laplacian\phi. \\
\end{aligned}
\]
两式相减得
\[
\begin{split}
& \div(\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) = \phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi. \\
& \implies \oiint (\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) \vdot \vb*{\dd S}
= \iiint (\phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi) \dd{V}.
\end{split}
\]
二维：
\[
\oint (\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) \vdot \vb*{\dd l}
= \iint (\phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi) \dd{S}.
\]
调和方程的格林函数法
无下标表示场点，有下标表示源点。
\[
\left\{\begin{aligned}
\laplacian u &= F & \forall \vb*{x} \in D. \\
u &= f & \forall \vb*{x} \in \partial D.
\end{aligned}\right.
\]
构造辅助的格林函数 \(G(\vb* x, \vb* x_0)\)，它满足
\[
\left\{\begin{aligned}
\laplacian G &= \eval{\delta}_{\vb* x - \vb* x_0} = \laplacian_0 G
& \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in D. \\
G &= 0 & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in \partial D.
\end{aligned}\right.
\]
注意，课上讲的 \(G\) 与这里差个负号。
将 \(u,G\) 代入格林公式，得
\[
\begin{split}
& \oiint \eval{(u \grad_0 G - G \grad_0 u)}_{\vb* x_0} \vdot \dd{\vb* S_0} \\
&= \iiint \qty(\eval{u}_{\vb* x_0} \eval{\delta}_{\vb* x - \vb* x_0} - \eval{G F}_{\vb* x_0}) \dd{V_0} \\
&= \eval{u}_{\vb* x} - \iiint \eval{G}_{\vb* x, \vb* x_0} \eval{F}_{\vb* x_0} \dd{V_0}.
\end{split}
\]
移项，
\[
\eval{u}_{\vb* x}
= \iiint \eval{G}_{\vb* x, \vb* x_0} \eval{F}_{\vb* x_0} \dd{V_0}
+ \oiint \eval{(u \grad_0 G - G \grad_0 u)}_{\vb* x_0} \vdot \dd{\vb* S_0}.
\]
代入边界条件，得
\[
u = \iiint GF \dd{V_0}
+ \oiint (f \grad_0 G) \vdot \dd{\vb* S_0}.
\]
这样就把原问题转化为求 \(G\)，而 \(G\) 不涉及 \(F,f\)，只与 \(D\) 有关，从而能一劳永逸地解决问题。
基本解
先寻找满足 \(\laplacian G = \delta = \laplacian_0 G\) 的特解，暂时忽略 \(D\) 的问题。
找简单的解即可：设解的形式为 \(G = \eval{\bar G}_{r}\)，其中 \(r = \abs{\vb* x - \vb* x_0}\)。解得
\[
\begin{aligned}
\bar G &= - \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{r} & \text{in $\R^2$}. \\
\bar G &= - \frac{1}{4\pi} \frac{1}{r^2} & \text{in $\R^3$}.
\end{aligned}
\]
格林函数
现在考虑 \(D\) 的问题。设 \(G = \bar G + g\)，则 \(g\) 满足
\[
\left\{\begin{aligned}
\laplacian g &= 0
& \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in D. \\
g &= 0 & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in \partial D.
\end{aligned}\right.
\]
对于简单的 \(D\)，这样的 \(g\) 可用初等的电像法给出。
B§4 格林函数法2
2021年12月12日。
第一类边界条件调和方程：
\[
\begin{cases}
\laplacian u = 0. & (\forall M \in D) \\
u = \eval{f}_M. & (\forall M \in \partial D) \\
\end{cases}
\]
其解为
\[
\eval{u}_M = - \oint\limits_{\partial D}
\eval{f}_{M_0} \grad_0 \eval{G}_{M,M_0} \vdot \dd{\vb*{\sigma}_0}
\]
其中 \(\laplacian G = -\delta(M-M_0)\)。
“积分得到的是边界上的源所产生的场，积分是针对边 界处的源点的积分。”
用电像法构造 \(G\)。考试时只要求将解用定积分和一阶偏导数表示。
B§5 贝塞尔函数
背景
2021年11月27日。
解波动方程、扩散方程时，若分离变量，会遇到 Helmholtz 方程
\[
\laplacian V = - \lambda V.
\]
若为圆域，用极坐标进一步分离变量，会导出贝塞尔方程
\[
x^2 \dv[2]{y}{x} + x \dv{y}{x} + (x^2-n^2)y = 0.
\]
该方程的两个级数解称为（第一类）\(\pm n\) 阶贝塞尔函数 \(J_{\pm n}\)。
\[
J_n = \qty(\frac{x}{2})^n \sum_{m\in\N} \frac{1}{m!\ (n+m)!} \qty(-\frac{x^2}{4})^m,
\quad n \in \R.
\]
\(n\in \Z^-\) 时，\(\frac{1}{n!}\) 按 \(0\) 算。
\(n \notin \Z\) 时 \(J_n\) 与 \(J_{-n}\) 线性独立；\(n \in \Z\) 时不再独立（\(J_{-n} = (-1)^n J_n\)），需要构造另一个特解：第二类贝塞尔函数 \(Y_n\)。
\[
Y_n = \lim_n \frac{J_n \cos{n\pi} - J_{-n}} {\sin{n\pi}}.
\]
性质
2021年11月27日。
这里的性质只在 \(n \in \N\) 时认真检验过。
-
幂级数的次数
- \(J_n\) 的最低次项是 \(x^n\)，并且系数是正的。
- \(J_n\) 要么只有偶次幂，要么只有奇次幂。
从贝塞尔方程证明导数递推性质
2021年11月27–28日。
我们相信这是可以做到的，尽管尚未做到。
设 \(L_n = x^2\dv[2]{x} + x\dv{x} + (x^2-n^2)\)，则 \(L_n J_n = 0\)。
设 \(P = x\dv{x}\)，则 \(L_n = P^2 + (x^2-n^2)\)。
由 \(L_i - L_j = j^2-i^2\)，
\[
\begin{split}
L_i J_j
&= (L_i - L_j)J_j + L_jJ_j \\
&= (j^2-i^2)J_j + 0 = (j^2-i^2)J_j.
\end{split}
\]
再翻回来得到 \(P^2J_j = (L_i^2 - x^2+i^2)J_j = (j^2-x^2)J_j\)。
又 \(P x^k = k x^k\)，\(P^2 x^k = k Px^k = k^2 x^k\)。
因此，
\[
\begin{split}
P^2(x^k J_j)
&= (P^2x^k)J_j + 2(Px^k)(PJ_j) + x^k P^2 J_j \\
&= x^k (k^2 + 2k P + P^2) J_j \\
&= x^k (k^2 + 2kP + j^2-x^2) J_j.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
x^{j+1}J_{j-1}
&\overset?= P(x^jJ_j) \\
&= (Px^j)J_j + x^j PJ_j \\
&= x^j (j + P) J_j.
\end{split}
\]
设 \(R = \frac{1}{x} \dv{x}\)，则需证 \(R(x^nJ_n) = x^{n-1}J_{n-1}\) 和 \(R(x^{-n}J_n) = -x^{n+1}J_{n+1}\)。
\[
\begin{split}
R^2
&= \qty(R\frac{1}{x})\dv{x} + \frac{1}{x}R\dv{x} \\
&= -\frac{1}{x^3} \dv{x} + \frac{1}{x^2} \dv[2]{x}.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
RP
&= \qty(Rx)\dv{x} + xR\dv{x} \\
&= R + \dv[2]{x}.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
PR
&= \qty(P\frac{1}{x})\dv{x} + \frac{1}{x}P\dv{x} \\
&= -R + \dv[2]{x}.
\end{split}
\]
用递推性质验证贝塞尔方程
2021年11月28日。
替换下标，得 \(J_n\) 与 \(J_{n+1}\) 的关系
\[
\begin{aligned}
\dv{x}(x^{n+1} J_{n+1}) &= x^{n+1} J_n. \\
\dv{x} \frac{J_n}{x^n} &= -\frac{J_{n+1}}{x^n}. \\
\end{aligned}
\]
将第二式代入第一式，得
\[
\begin{split}
-x^{n+1} J_n
&= \dv{x} (x^{2n+1} \dv{x}\frac{J_n}{x^n}) \\
&= \dv{x} (-nx^n J_n + x^{n+1} J_n') \\
&= -n^2 x^{n-1} J_n -nx^n J_n' + (n+1)x^n J_n' + x^{n+1}J_n'' \\
&= -n^2 x^{n-1} J_n + x^n J_n' + x^{n+1}J_n''.
\end{split}
\]
整理得
\[
x^2 J_n'' + x J_n' = (n^2-x^2) J_n.
\]
证毕。
后备箱
- 辐角多值，主辐角单值。
- 区分数列收敛与部分和收敛。
- 求级数的和函数、将函数展开为幂级数时注意收敛域。
- \(\oint \frac{\dd{z}}{z} = 2\pi i\)，\(\oint = 2\pi i \sum\Res\)，有个 \(2\pi i\)。
- 注意微分方程及初始、边界条件中自变量的范围。
- 结果的分母不能保留\(i\)。
- 行波法中，特征方程 \(A(\dd{y})^2 - 2B\dd{x}\dd{y} + C(\dd{x})^2 = 0\) 中交叉项有个负号。
- 强调特征函数系的来源（边界条件的类型）。
- 使用 Cauchy – Riemann 条件时，强调四个偏导数存在且连续。
- 描述多值函数时，写清参数的范围。
- 一般的 \(a^b\) 指多值函数 \(\exp(b \operatorname{Ln}a)\)。
- 调和函数的“共轭”不具有对称性，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。
- 求共轭调和函数时，先检验确实是调和函数。
- 将函数展开成泰勒级数，用比值法或者根值法计算收敛半径或收敛域可能得到不合理的结果。
- Laurent 级数是在环域内展开，题目未指明时，要自己分区。