复变函数与数理方程

\[ \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\R{\mathbb{R}} \def\Rho{Ρ} \def\oiint{∯} \]

A§3 积分

化不解析函数为解析函数

2021年12月12日。

求 \(\int_{\abs{z} = 2}\frac{\dd{z}}{\abs{z-1}^2}\)，如果不想用参数方程，那需要构造一个在围道上与被积函数相等（其它地方不总相等）的解析函数。\(\abs{z-1}^2\) 是二次的，不好处理，先转化成 \((z-1)\overline{z-1}\)，解决共轭。

最原始的思路是单位复数的性质 \(\bar z = \frac{1}{z}\)，这里也仿照它。围道的圆心是 \(0\)，故先凑个 \(\bar z\) 出来。

\[ \overline{z-1} = \overline{z}-1。 \]

围道的半径是 \(2\)，故

\[ \bar z = \frac{4}{z}. \]

于是被积函数化为

\[ \frac{1}{(z-1) \qty(\frac{4}{z} - 1)} = \frac{z}{(z-1)(4-z)}. \]

后边随便做就行了。

2021年12月17日。

\[ \frac{\dd{z}}{z} = \dd{\operatorname{Ln}}z = \dd{\abs{z}} + i\dd{\arg z}. \]

A§4 级数

局部性态

2024年11月7日。

某点可导、可微、解析都是描述这点附近局部里函数的变化性态。

• （多元函数）存在某个（偏）导数：自变量沿某条线微微移动时，因变量随之近似线性变化。
• （多元函数）可微：自变量在邻域内微微移动时，因变量随之近似线性变化。
• （复变函数）存在导数（即可微）：自变量在邻域内微微移动时，因变量随之近似线性变化，并且比例系数与自变量移动方向无关。
• 解析：自变量在邻域内微微移动时，因变量按照幂级数变化。不过这个定义太难验证了，不好用；根据Cauchy导数公式等理论，它等价于这周围一片都可导，这才是一般教材上的定义。

最简单的例子

2021年10月15日。

\[ \begin{aligned} &\frac{1}{1-z} = z + z^2 + z^3 + \cdots &= \sum_{n=0}^{+\infty} z^n, &\quad \abs{z} < 1. \\ &\frac{1}{1-z} = -\frac1z - \frac{1}{z^2} - \frac{1}{z^3} + \cdots &= -\sum_{n=-1}^{-\infty} z^n, &\quad \abs{z} > 1. \\ \end{aligned} \]

A§5 留数

其它方法

2021年10月23日。

113页习题五10(1)。

\(C: \abs{z} = 3\)。

\[ \begin{split} &\oint\limits_C \frac{z^{15} \dd{z}} {\qty(z^2-1)^2 \qty(z^4+2)} \\ &= \oint\limits_{2C} \frac{u^{7} \dd{\frac u2}} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} \qquad (u=z^2) \\ &= \oint\limits_{C} \frac{u^{7} \dd{u}} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} \\ &= - 2\pi i\ \Res(\frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)}, \infty) \\ &= 2\pi i \cross \text{“} \frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} \text{在$\infty$的展开式中$\frac 1u$的系数”}. \\ \end{split} \]

注意

\[ \begin{split} \frac{u^7} {\qty(u-1)^2 \qty(u^2+2)} &= \frac{u^3} {\qty(1 - \frac 1u)^2 \qty(1 + \frac{2}{u^2})} \\ &= u^3 \qty(1 - \frac{1}{u})^{-2} \qty(1 + \frac{2}{u^2})^{-1} \\ &= u^3 \qty(\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{-2}{n} \frac{(-1)^n}{u^n}) \qty(\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{ (-2)^m}{u^{2m}}). \\ \end{split} \]

\(\dfrac{1}{u}\) 对应的 \((n,m)\) 为 \(\{(0,2), (2,1), (4,0)\}\)，相应系数如下

\[ \begin{array}{c|c} n & m & \binom{-2}{n} (-1)^n & (-2)^m & \text{最终系数} \\ \hline 0 & 2 & 1 & 4 & 4\\ 2 & 1 & \frac{(-2)\times (-3)}{1 \times 2} = 3 & -2 & -6\\ 4 & 0 & \frac{(-2) \times \cdots \times(-5)}{4!} = 5 & 1 & 5\\ \end{array} \]

故上述系数是 \(4-6+5 = 3\)，进而得原式为 \(6\pi i\)。

B§1 建立方程

2021年11月7日。

• 方程：
  • 波动方程： \(\pdv[2]{u}{t} = v^2 \pdv[2]{x}{t}\)。
  • 扩散方程：\(\pdv{u}{t} = \alpha^2 \pdv[2]{x}{t}\)。
• 边界条件：\(u,\pdv{u}{x}\) 及其线性组合。
• 初始条件。

B§2 分离变量法

齐次方程、齐次边界条件

2021年11月7日，2021年11月12日。

设 \(\eval{u}_{x,t} = \eval{X}_x \eval{T}_t\)，则齐次方程化为两个特征值问题。

• 波动方程

  \(X'' = - k^2 X\)，\(T'' = - \omega^2 T\)，其中 \(\omega = kv\)。（边界条件一般导致 \(k \in i\R\) 时无解）

  根据边界条件类型，\(kl\) 是 \(\pi\) 的整数或半整数倍。

• 扩散方程

  \(X\) 的情况同上。\(T' = -(k\alpha)^2 T\)。

• 旋转对称域上的调和方程

  可能有自然边界条件（\(\eval{u}_{r=0}\) 有限）或周期性条件（\(\eval{u}_{\theta}\) 有 \(2\pi\) 的周期）。

  径向的微分方程形式将是欧拉方程。

非齐次问题

2021年11月12日。

• 很多例子，包括非齐次边界条件

  代换 \(u = v+w\)，转化为齐次问题：使边界条件齐次，有时也能把方程弄成齐次。

• 齐次边界条件

  由边界条件可得特征函数系，将所有东西按此展开，可得一系列常微分方程。

B§3 行波法和积分变换法

此章研究无界域的问题。

行波法

2021年11月12日。

\[ \pdv{f}{\xi}{\eta} = 0 \implies f = f_1(\xi) + f_2(\eta). \]

\(\xi,\eta = x \pm v t\)。

\(\pdv{x} = \pdv{\xi} + \pdv{\eta}\)，\(\frac{1}{v} \pdv{t} = \pdv{\xi} - \pdv{\eta}\)。

特征线法

2021年12月12日。

波动是沿特征线传播的。

\[ \begin{split} A\pdv[2]{x} + 2B \pdv{}{x}{y} + C \pdv[2]{y} +\\ 2D\pdv{x} + 2E\pdv{y} + F = 0. \end{split} \]

这个方程的特征线满足 \(A(\dd{y})^2-2B\dd{y}\dd{x} + C(\dd{x})^2 = 0\)。

将两条特征线的方程中的常数设为新的变量，可去除 \(\partial^2_{xx}, \partial^2_{yy}\) 项。

---

达朗贝尔公式：

\[ u = \frac{1}{2} \sum \eval{u}_{t=0,\ x=x\pm vt} + \frac{1}{2} \int\limits_{x-vt}^{x+vt} \eval{\frac{1}{v} \pdv{u}{t}}_{t=0,\ x=\xi} \dd{\xi}. \]

积分变换法

2021年12月12日。

\(\mathcal{F}\) 需要函数在 \(\R\) 上有定义，\(\mathcal{L}\) 则是 \(\R^+\)。

B 杂项

\(\nabla\)

2021年11月7日。

\[ \laplacian = \frac{1}{J} \sum_i \pdv{u_i} \frac{J}{h_i^2} \pdv{u_i}. \]

\(h_i\) 是 scale factors；\(J\) 是 Jacobian 行列式，等于 \(\prod_i h_i\)。

对于极坐标，\(\va*{u} = (r,\theta)\)，\(\va*{h} = (1, r)\)，于是

\[ \begin{split} \laplacian &= \frac{1}{r} \pdv{r}(r \pdv{r}) + \frac{1}{r} \pdv[2]{\theta} \\ &= \pdv[2]{r} + \frac{1}{r} \pdv{r} + \frac{1}{r} \pdv[2]{\theta}. \end{split} \]

常微分方程

欧拉方程

2021年11月12日。

\[ \sum_i x^i \dv[i]{x} = 0. \]

令 \(x = e^t, x\dv{x} = \dv{t}\) 可转化为常系数方程。

\[ \begin{split} x^2 \dv[2]{x} &= x^2 \dv{t} \dv{x} \\ &= x^2 \dv{x}(\frac{1}{x}\dv{t}) \\ &= -\frac{x^2}{x^2} \dv{t} + x \dv{t} \dv{t} \\ &= \dv[2]{t} - \dv{t}. \end{split} \]

\(\rho^2 \Rho'' + \rho \Rho' = n^2 \Rho\) 的解是 \(1,\ln \rho\)（\(n = 0\)）或 \(\rho^{\pm n}\)（\(n \neq 0\)）的线性组合。

线性非齐次常系数微分方程

2021年11月12日。

线性非齐次常系数微分方程可用常数变易法得特解。

\(y'' + \omega^2 y = f(x)\)，\(\eval{y}_{x=0} = 0\)，\(\eval{\dv{y}{x}}_{x=0} = 0\) 的一个特解是

\[ y = \frac{1}{\omega} \int\limits_0^x f(t) \sin(\omega(x-t)) \dd{t}. \]

---

2021年12月13日。

要解如下常微分方程，初始条件为 \(\eval{y}_0=0, \eval{y'}_0 =0\)。

\[ y'' + k^2 y = f. \]

\(ki\) 是特征根之一，构造 \(u = y/e^{ikx}\)，则

\[ \left\{\begin{array}{r} y &=& e^{ikx} u \\ y' &=& ike^{ikx}u &+& e^{ikx}u' \\ y'' &=& -k^2 e^{ikx}u &+& 2ike^{ikx}u' &+& e^{ikx} u'' \\ \end{array}\right.. \]

代入初始条件，得到 \(\eval{u}_0 = 0, \eval{u'}_0\)。

代入原方程，得到

\[ \begin{split} & 2ik e^{ikx} u' + e^{ikx} u'' = f. \\ \implies& u'' + 2iku' = e^{-ikx}f. \end{split} \]

这是关于 \(u'\) 的一阶微分方程，可以凑微分了：

\[ \qty(e^{2ikx}u')' = e^{ikx} f. \]

现在一点儿一点儿积分回去。

\[ \begin{split} e^{2ikx} u' &= 0+ \int\limits_0^x \eval{\qty(e^{2ikx}u')'}_\xi \dd{\xi} \\ &= \int\limits_0^x e^{ik\xi} \eval{f}_\xi \dd{\xi}. \\ \end{split} \]

再来一次。

\[ \begin{split} u &= 0 + \int\limits_0^x \eval{u'}_\eta \dd{\eta} \\ &= \int\limits_0^x \dd{\eta} e^{-2ik\eta} \int\limits_0^\eta \dd{\xi} e^{ik\xi} \eval{f}_\xi \\ &= \int\limits_0^x \dd{\eta} \int\limits_0^\eta \dd{\xi} e^{ik (\xi-2\eta)} \eval{f}_\xi. \end{split} \]

最后结果……

\[ \int\limits_0^x \dd{\eta} \int\limits_0^\eta \dd{\xi} e^{ik (x+\xi-2\eta)} \eval{f}_\xi. \]

(⊙﹏⊙)

---

还是用冲量法或积分变换法吧……

B§4 格林函数法

2021年11月27日。

Method of Green’s Functions - 18.303 Linear PDEs

格林公式

此为第二格林公式。

对于 \(\R^n \to \R\) 函数 \(\phi,\psi\)，

\[ \begin{aligned} \div(\phi \grad\psi ) = \grad\phi \vdot\grad\psi + \phi \laplacian\psi. \\ \div(\psi \grad\phi ) = \grad\psi \vdot\grad\phi + \psi \laplacian\phi. \\ \end{aligned} \]

两式相减得

\[ \begin{split} & \div(\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) = \phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi. \\ & \implies \oiint (\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) \vdot \vb*{\dd S} = \iiint (\phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi) \dd{V}. \end{split} \]

二维：

\[ \oint (\phi\grad\psi - \psi\grad\phi) \vdot \vb*{\dd l} = \iint (\phi\laplacian\psi - \psi\laplacian\phi) \dd{S}. \]

调和方程的格林函数法

无下标表示场点，有下标表示源点。

\[ \left\{\begin{aligned} \laplacian u &= F & \forall \vb*{x} \in D. \\ u &= f & \forall \vb*{x} \in \partial D. \end{aligned}\right. \]

构造辅助的格林函数 \(G(\vb* x, \vb* x_0)\)，它满足

\[ \left\{\begin{aligned} \laplacian G &= \eval{\delta}_{\vb* x - \vb* x_0} = \laplacian_0 G & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in D. \\ G &= 0 & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in \partial D. \end{aligned}\right. \]

注意，课上讲的 \(G\) 与这里差个负号。

将 \(u,G\) 代入格林公式，得

\[ \begin{split} & \oiint \eval{(u \grad_0 G - G \grad_0 u)}_{\vb* x_0} \vdot \dd{\vb* S_0} \\ &= \iiint \qty(\eval{u}_{\vb* x_0} \eval{\delta}_{\vb* x - \vb* x_0} - \eval{G F}_{\vb* x_0}) \dd{V_0} \\ &= \eval{u}_{\vb* x} - \iiint \eval{G}_{\vb* x, \vb* x_0} \eval{F}_{\vb* x_0} \dd{V_0}. \end{split} \]

移项，

\[ \eval{u}_{\vb* x} = \iiint \eval{G}_{\vb* x, \vb* x_0} \eval{F}_{\vb* x_0} \dd{V_0} + \oiint \eval{(u \grad_0 G - G \grad_0 u)}_{\vb* x_0} \vdot \dd{\vb* S_0}. \]

代入边界条件，得

\[ u = \iiint GF \dd{V_0} + \oiint (f \grad_0 G) \vdot \dd{\vb* S_0}. \]

这样就把原问题转化为求 \(G\)，而 \(G\) 不涉及 \(F,f\)，只与 \(D\) 有关，从而能一劳永逸地解决问题。

基本解

先寻找满足 \(\laplacian G = \delta = \laplacian_0 G\) 的特解，暂时忽略 \(D\) 的问题。

找简单的解即可：设解的形式为 \(G = \eval{\bar G}_{r}\)，其中 \(r = \abs{\vb* x - \vb* x_0}\)。解得

\[ \begin{aligned} \bar G &= - \frac{1}{2\pi} \ln\frac{1}{r} & \text{in $\R^2$}. \\ \bar G &= - \frac{1}{4\pi} \frac{1}{r^2} & \text{in $\R^3$}. \end{aligned} \]

格林函数

现在考虑 \(D\) 的问题。设 \(G = \bar G + g\)，则 \(g\) 满足

\[ \left\{\begin{aligned} \laplacian g &= 0 & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in D. \\ g &= 0 & \forall \vb*{x}, \vb*{x}_0 \in \partial D. \end{aligned}\right. \]

对于简单的 \(D\)，这样的 \(g\) 可用初等的电像法给出。

B§4 格林函数法2

2021年12月12日。

第一类边界条件调和方程：

\[ \begin{cases} \laplacian u = 0. & (\forall M \in D) \\ u = \eval{f}_M. & (\forall M \in \partial D) \\ \end{cases} \]

其解为

\[ \eval{u}_M = - \oint\limits_{\partial D} \eval{f}_{M_0} \grad_0 \eval{G}_{M,M_0} \vdot \dd{\vb*{\sigma}_0} \]

其中 \(\laplacian G = -\delta(M-M_0)\)。

“积分得到的是边界上的源所产生的场，积分是针对边 界处的源点的积分。”

用电像法构造 \(G\)。考试时只要求将解用定积分和一阶偏导数表示。

B§5 贝塞尔函数

背景

2021年11月27日。

解波动方程、扩散方程时，若分离变量，会遇到 Helmholtz 方程

\[ \laplacian V = - \lambda V. \]

若为圆域，用极坐标进一步分离变量，会导出贝塞尔方程

\[ x^2 \dv[2]{y}{x} + x \dv{y}{x} + (x^2-n^2)y = 0. \]

该方程的两个级数解称为（第一类）\(\pm n\) 阶贝塞尔函数 \(J_{\pm n}\)。

\[ J_n = \qty(\frac{x}{2})^n \sum_{m\in\N} \frac{1}{m!\ (n+m)!} \qty(-\frac{x^2}{4})^m, \quad n \in \R. \]

\(n\in \Z^-\) 时，\(\frac{1}{n!}\) 按 \(0\) 算。

\(n \notin \Z\) 时 \(J_n\) 与 \(J_{-n}\) 线性独立；\(n \in \Z\) 时不再独立（\(J_{-n} = (-1)^n J_n\)），需要构造另一个特解：第二类贝塞尔函数 \(Y_n\)。

\[ Y_n = \lim_n \frac{J_n \cos{n\pi} - J_{-n}} {\sin{n\pi}}. \]

性质

2021年11月27日。

这里的性质只在 \(n \in \N\) 时认真检验过。

• 定义

  \[ x^2 J_n'' + x J_n' + (x^2-n^2) J_n = 0. \]

• 幂级数的次数

  • \(J_n\) 的最低次项是 \(x^n\)，并且系数是正的。
  • \(J_n\) 要么只有偶次幂，要么只有奇次幂。

• 导数递推

  这两个是最基本的性质，可导出以下所有性质。

  \[ \begin{aligned} \dv{x}(x^n J_n) &= x^n J_{n-1}. \\ \dv{x} \frac{J_n}{x^n} &= -\frac{J_{n+1}}{x^n}. \\ \end{aligned} \]

  第一式左右最低次项都是 \(x^{2n-1}\)，第二式左右最低次项都是 \(x\)。

  特别地，\(\dv{x} J_0 = -J_1\)，\(\dv{x}(xJ_1) = xJ_0\)。

• 降阶

  \[ \frac{J_{n-1} + J_{n+1}}{2} = \frac{n J_n}{x}. \]

  另外 \(J_{n+1} - J_{n-1}= -2\dv{x} J_n\)。

• 近似

  \[ J_n + iY_n \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \exp(i \qty(x - \frac\pi4 - \frac{n\pi}{2})). \]

  上式在 \(x \to +\infty\) 时渐近，在 \(x = \pm \frac12\) 时余项为零。

  左端是 Hankel 函数。

从贝塞尔方程证明导数递推性质

2021年11月27–28日。

我们相信这是可以做到的，尽管尚未做到。

设 \(L_n = x^2\dv[2]{x} + x\dv{x} + (x^2-n^2)\)，则 \(L_n J_n = 0\)。

设 \(P = x\dv{x}\)，则 \(L_n = P^2 + (x^2-n^2)\)。

由 \(L_i - L_j = j^2-i^2\)，

\[ \begin{split} L_i J_j &= (L_i - L_j)J_j + L_jJ_j \\ &= (j^2-i^2)J_j + 0 = (j^2-i^2)J_j. \end{split} \]

再翻回来得到 \(P^2J_j = (L_i^2 - x^2+i^2)J_j = (j^2-x^2)J_j\)。

又 \(P x^k = k x^k\)，\(P^2 x^k = k Px^k = k^2 x^k\)。

因此，

\[ \begin{split} P^2(x^k J_j) &= (P^2x^k)J_j + 2(Px^k)(PJ_j) + x^k P^2 J_j \\ &= x^k (k^2 + 2k P + P^2) J_j \\ &= x^k (k^2 + 2kP + j^2-x^2) J_j. \end{split} \]

\[ \begin{split} x^{j+1}J_{j-1} &\overset?= P(x^jJ_j) \\ &= (Px^j)J_j + x^j PJ_j \\ &= x^j (j + P) J_j. \end{split} \]

---

设 \(R = \frac{1}{x} \dv{x}\)，则需证 \(R(x^nJ_n) = x^{n-1}J_{n-1}\) 和 \(R(x^{-n}J_n) = -x^{n+1}J_{n+1}\)。

\[ \begin{split} R^2 &= \qty(R\frac{1}{x})\dv{x} + \frac{1}{x}R\dv{x} \\ &= -\frac{1}{x^3} \dv{x} + \frac{1}{x^2} \dv[2]{x}. \end{split} \]

\[ \begin{split} RP &= \qty(Rx)\dv{x} + xR\dv{x} \\ &= R + \dv[2]{x}. \end{split} \]

\[ \begin{split} PR &= \qty(P\frac{1}{x})\dv{x} + \frac{1}{x}P\dv{x} \\ &= -R + \dv[2]{x}. \end{split} \]

用递推性质验证贝塞尔方程

2021年11月28日。

替换下标，得 \(J_n\) 与 \(J_{n+1}\) 的关系

\[ \begin{aligned} \dv{x}(x^{n+1} J_{n+1}) &= x^{n+1} J_n. \\ \dv{x} \frac{J_n}{x^n} &= -\frac{J_{n+1}}{x^n}. \\ \end{aligned} \]

将第二式代入第一式，得

\[ \begin{split} -x^{n+1} J_n &= \dv{x} (x^{2n+1} \dv{x}\frac{J_n}{x^n}) \\ &= \dv{x} (-nx^n J_n + x^{n+1} J_n') \\ &= -n^2 x^{n-1} J_n -nx^n J_n' + (n+1)x^n J_n' + x^{n+1}J_n'' \\ &= -n^2 x^{n-1} J_n + x^n J_n' + x^{n+1}J_n''. \end{split} \]

整理得

\[ x^2 J_n'' + x J_n' = (n^2-x^2) J_n. \]

证毕。

后备箱

• 辐角多值，主辐角单值。
• 区分数列收敛与部分和收敛。
• 求级数的和函数、将函数展开为幂级数时注意收敛域。
• \(\oint \frac{\dd{z}}{z} = 2\pi i\)，\(\oint = 2\pi i \sum\Res\)，有个 \(2\pi i\)。
• 注意微分方程及初始、边界条件中自变量的范围。
• 结果的分母不能保留\(i\)。
• 行波法中，特征方程 \(A(\dd{y})^2 - 2B\dd{x}\dd{y} + C(\dd{x})^2 = 0\) 中交叉项有个负号。
• 强调特征函数系的来源（边界条件的类型）。
• 使用 Cauchy – Riemann 条件时，强调四个偏导数存在且连续。
• 描述多值函数时，写清参数的范围。
• 一般的 \(a^b\) 指多值函数 \(\exp(b \operatorname{Ln}a)\)。
• 调和函数的“共轭”不具有对称性，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。
• 求共轭调和函数时，先检验确实是调和函数。
• 将函数展开成泰勒级数，用比值法或者根值法计算收敛半径或收敛域可能得到不合理的结果。
• Laurent 级数是在环域内展开，题目未指明时，要自己分区。

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