工科数学分析 2¶
§1 向量代数与空间解析几何¶
二次曲面¶
2021年3月15日。
方程：\(x^2,y^2,z^2,2yz,2zx,2xy,2x,2y,2z,1\) 的线性组合为零。（暂记 \(x^2\) 的系数为 \([x^2]\)，以此类推）
下表未区分实虚曲面。名称中的“1”“0”指\(k\)。
| rank e | ||||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | ||
| rank E | 1 | 重合平面 | ||
| 2 | 平行平面 | 相交平面 | ||
| 3 | 抛物柱面 |
1 椭圆柱面 0 双曲柱面 |
椭圆锥面 | |
| 4 |
1 椭圆抛物面 0 双曲抛物面 |
1 椭球面 0 单/双叶双曲面 |
||
§2 多元函数微分学¶
连续、偏导数、可微¶
2021年3月24日，2021年3月30日，2021年4月4日。
在 \((0,0)\) 不可微的例子：
| 连续 | 不连续 | |
|---|---|---|
| 存在偏导数 | \(r\sin(2\theta) = \dfrac{2xy}r\) | \(\sin(2\theta)=\dfrac{2xy}{r^2}\) |
| 不存在偏导数 | \(x\sin\frac 1x + y\sin\frac 1y\)（去间断） | \(\operatorname{Dirichlet}(xy)\) |
graph LR
0["所有偏导数连续<br>（连续可微）"] --> 1["一个偏导数存在，<br>其它偏导数连续"] --> 2["可微"] --> 3["偏导数都存在"]
2 --> 4["连续"]在 \((0,0)\) 不存在累次极限，而存在重极限的例子：\(x \sin\frac1y + y \sin\frac1x\)。
在闭矩形域内，若\(z\)对于\(y\)处处连续，对于\(x\)（且关于\(y\)）处处一致连续，则\(z\)连续。
“且关于\(y\)”：
\[ \forall\varepsilon>0, \exists\delta>0, \forall x,\forall x'\in U(x;\delta), \underline{\forall y}, \quad z(x',y) \in U\left( z(x,y); \varepsilon \right) \]另外，若去掉“关于\(y\)”，则“对\(x\)连续”即可说明“对\(x\)一致连续”。（因为是闭矩形域）
混合偏导数¶
2021年4月4日。
不同混合偏导数的极限式一致，只是极限过程不同，然而累次极限和重极限的存在性没有必然的蕴含关系（虽然都存在时必然都相等），导致累次极限不总能换序。
华东师大教材下册 §17. 4 的习题 17.（151–152页）。
若 \(f_x',f_y',f_{yx}''\) 在原点的某邻域内存在，且 \(f_{yx}''\) 在原点连续，则 \(f_{xy}''\) 在原点也存在，且与 \(f_{yx}''(0,0)\) 相等。（换为其它点也类似，只是原点写起来方便）这是因为用两次 Lagrange 中值定理可将极限式 \(\dfrac{\Delta^2 f}{\d x\d y}\) 写成 \(f_{yx}''(\theta_x \d x, \theta_y \d y)\)，从而证明累次极限和重极限都存在，保证累次极限可以换序。
§3 重积分¶
累次积分换序¶
2021年4月17日。
这可能简化积分。
设 \(F(x) \triangleq \int_0^x \exp t^2 \d t\)，则 \(F'(x) = \exp x^2, F(0) = 0\)。
\[ \begin{split} & \int_0^1\d y \int_y^1 \left (\frac{\e^{x^2}}x - \e^{y^2} \right) \d x \\ &= \int_0^1\d x \int_0^x \left (\frac{\e^{x^2}}x - \e^{y^2} \right) \d y \\ &= \int_0^1 (\e^{x^2} - F(x)) \d x \\ &= F(1) - \int_0^1 F(x) \d x \\ &= F(1) - \left( F(1) - \int_0^1 x \e^{x^2} \d x\right) \\ &= \frac12 \int_0^1 \e^{x^2} \d(x^2) \\ &= \frac12 (\e - 1) \end{split} \]
另外，累次积分
的积分区域相当于 \(y=y_0, y=y_1, x = x_0(y), x = x_1(y)\) 四条曲线围成的区域。
2021年6月23日。
如果某些时候 \(x_0(y) > x_1(y)\)，那么建议分段写，并且某一段是负号的。
积分元素¶
2021年4月24日。
（此处球坐标的\(\varphi\)为与 \(+z\) 的夹角，而非纬度）
三角函数单项式的定积分¶
2021年4月28日。
这第一项很容易是零，因此结果的形式往往类似于 \(\frac{(n-1)!!}{n!!}\pi,\ \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\frac{(n-1)!!}{n!!}\)。
对称性、线性¶
2021年4月28日。
往往能利用它化简。
例如积分区域是关于\(z\)轴对称的圆柱体，则
由此还可由物理上若干常用的转动惯量计算某些积分。
有些函数，例如 \(y(1+x \exp\frac{x^2+y^2}2)\)，可以拆成几部分，每部分各有各的对称性。
§9 曲线积分与曲面积分¶
曲线积分¶
2021年5月8日。
先化简再求值！
求下式可以上来就代入 \(\rho = 2r\cos\theta\)，也不太难。
\[ \oint\limits_{x^2+y^2 = 2rx} \left( x^2 + (y+1)^2 \right) \d l \]先化简会更简单：
\[ \begin{split} \text{原式} &= \oint\limits_{x^2+y^2 = 2rx} \left( x^2+y^2 + 2y + 1 \right) \d l \\ &= \oint\limits_{x^2+y^2 = 2rx} \left( 2rx + 2y + 1 \right) \d l \\ &= \overline{2rx+2y+1} \oint\limits_{x^2+y^2 = 2rx} \d l \\ &= (2r\overline x + 2\overline y + 1) \cdot 2\pi r \\ &= (2r\cdot r + 0 + 1) 2\pi r \\ &= 2\pi r(2r^2+1). \end{split} \]甚至可以口算。
化简全微分¶
2021年5月14日。
先验证旋度为零，确保原函数确实存在。
凑微分¶
已知\(\d u = \dfrac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2}\)，求\(u\)。
观察，分母可能是 \(\d\dfrac1{x+y}\)，来的，想办法搞出 \(\d(x+y)\)
\[ \begin{split} \d u=\frac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2} &= \frac{(x+y)\d x - x(\d x+\d y)}{(x+y)^2} \\ &= \frac{\d x}{x+y} + x\d\frac1{x+y} \\ &= \d\frac{x}{x+y} \end{split} \]故 \(u = \dfrac{x}{x+y} + \const\).
如果凑的是 \(y\d y\) 而非 \(x\d x\)，也能做，先得到的结果是 \(-\dfrac{y}{x+y} = \dfrac{x}{x+y}-1\)。
另：
\[ \begin{split} \d u = \dfrac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2} &= \frac{y^2 \d\frac xy}{(x+y)^2} \\ &= \frac{\d \frac xy}{\left( 1 + \frac xy \right)^2} \\ &= -\d \frac 1{1+\frac xy} \\ &= -\d \frac y{x+y} \end{split} \]若用 \(x\d y - y\d x = x^2 \d\dfrac yx\)，情况类似。
2021年6月24日。
常见的形式：
- \(f\d g + g\d f = \d(fg).\)
- \(f\d g - g\d f = f^2 \d\frac gf.\)
- \(f\d x + \d f = \e^{-x} \d(\e^x f).\)
曲线积分¶
已能说明积分只与路径始末有关，所以选择一条好算的路径即可。
已知\(\d u = \dfrac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2}\)，求\(u\)。
\[ \begin{split} u\vert_{(0,0)}^{x_0,y_0} &= \int\limits_{(0,0)}^{(x_0,y_0)} \frac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2} \\ &= \int_0^{x_0} \frac{0\d x}{(x+0)^2} + \int_0^{y_0} \frac{- x_0\d y}{(x_0+y)^2} \\ &= 0 + \frac{x_0}{x_0+y} \Bigg\vert_{y=0}^{y_0} \\ &= \frac{x_0}{x_0+y_0} -1 \end{split} \]故 \(u\vert_{(x,y)} = u\vert_{(0,0)} + u\vert_{(0,0)}^{(x,y)} = \dfrac{x}{x+y} + \const\)。
偏微分方程¶
\(\d u = X\d x + Y\d y\)，则 \(\partial_x u = X,\ \partial_y u =Y\)。
已知\(\d u = \dfrac{y\d x - x\d y}{(x+y)^2}\)，求\(u\)。
\[ \displaylines{ \left\{ \begin{aligned} \pdv{u}{x} &= \frac{y}{(x+y)^2} \\ \pdv{u}{y} &= -\frac{x}{(x+y)^2} \\ \end{aligned} \right. \\ \begin{split} \therefore u &= \int\frac{y\d x}{(x+y)^2} + C\vert_y \\ &= -\frac{y}{x+y} + C\vert_y \end{split} \\ \begin{split} \therefore \frac{\d C }{\d y} &= \pdv{u}{y} + \pdv{y} \frac{y}{x+y} \\ &= -\frac{x}{(x+y)^2} + \frac{x+y-y}{(x+y)^2} \\ &= 0 \end{split} \\ \therefore C\vert_y = \const \\ } \]故 \(u = -\dfrac y{x+y} + \const\)。
面积元¶
2021年6月20日。
设 \(\vec n = (n_x,n_y,n_z) = \lvert \vec n \rvert \hat n\)。
§10 级数¶
双阶乘¶
2021年6月14日。
\((2n)!!=2^n\times n!\)。
似乎用数学归纳法可得还小于等于 \(\frac1{\sqrt{\pi i}}\)。二者都只在\(\Z\)上成立。
2021年6月20日。
利用三角函数单项式的定积分，
由 \(\{\sin^n x\}\) 是减数列，\(\{I_n\}\) 也是减数列，故
也可提供下界：
另外可归结为阶乘的问题，因为
故
再——例如——由Stirling's_approximation，上式等价于
比阶法¶
2021年6月23日。
构造同阶无穷小永远可以判断数项级数是否收敛，只是有时很难构造，有时不存在简单的同阶无穷小。
级数对应相乘¶
2023年11月26日。
- Dirichlet：若 \(a_n\) 单调趋于零，\(\sum_n b_n\) 部分和有界，则 \(\sum_n a_n b_n\) 收敛。
- Abel：若 \(a_n\) 单调有界，\(\sum_n b_n\) 收敛，则 \(\sum_n a_n b_n\) 收敛。
对于同一对 \(a_n, b_n\)，两种判别法没有蕴含关系，不过 Dirichlet 判别法结合“单调有界则存在极限”可证 Abel 判别法。
两种判别法都可直接用分部求和证明——限制 \(\sum_n b_n\) 部分和是分部求和所需，要求单调则是为了保证 \(\Delta a_n\) 不变号。
杂项¶
全微分与留数¶
2022年11月21日。
这是2021年5月12日、24日在例6夹的纸。
求证下式，其中 \(L\) 是任意绕原点的正向简单闭曲线。
曲线积分¶
设以原点为圆心，\(\varepsilon\) 为半径的圆。\(\varepsilon\) 充分小，使之在 \(L\) 内。
注意被积函数无旋：
故
Cauchy 公式¶
取 \(z = 1\)，\(f \equiv 1\)，则 \(2\pi i = \oint \dd{\zeta} / \zeta\)。
记 \(\zeta = x + yi\)，则
又第一项是全微分，\(\oint\) 为零，所以 \(2\pi i\) 等于第二项的 \(\oint\)，即为所求。
第三维¶
事实上
其中 \(\rho = \sqrt{x^2+y^2}\)。
所以
该函数在原点无定义，走不下去……
注意¶
- 平行向量可能同向、反向，也可能为零。
- 区分“四面体”与“平行六面体”的体积公式。
- 利用梯度求方向导数时需要单位化方向向量，一般的投影也是。
- \(y=y_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2}\) 只表示半圆弧。
- 若干曲面所围成的区域与所有曲面相邻。
- 移动坐标系原点时记得修改所有坐标的所有分量。
- \(\int \sqrt{1-\cos^2\theta}\d\theta = \int \lvert\sin\theta\rvert \d\theta\)，有个绝对值。
- 注意正负：
- 区间的正负：重积分的各积分区间应当是正向区间。
- 曲面的侧。
- 曲线的方向。
- 注意形心、质心表达式的分母。
- 投影有方向，投影的数量没有。
- 多元函数的偏导数也是多元函数。
- 星形线的参数方程不是极坐标方程。
- 牟合方盖与坐标面的截面有两个是圆，有一个是正方形。
- “所围立体的外侧”是闭曲面。
- 收敛域的中心不一定是原点。
- 幂级数可能有缺项。
- 向量曲面积分给的三项的顺序可能不是 \((\d y\d z, \d z\d x, \d x\d y)\)。
后备箱¶
- 工数串讲6月19日：有我的笔记，还有欧景行。