工科数学分析1

\[ \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} % \def\i{\mathrm{i}} \def\e{\mathrm{e}} % \def\d{\mathop{}\!\mathrm{d}} \def\const{\mathrm{Const.}} % \def\arsinh{\operatorname{arsinh}} \def\arcosh{\operatorname{arcosh}} \def\artanh{\operatorname{artanh}} \]

1 函数、极限与连续

2020年11月12日、2020年11月14日。

记号

\[ \displaylines{ N(a, \delta) \triangleq (a-\delta, a+\delta) \\ N^0_+(a, \delta) \triangleq (a,a+\delta) } \]

同理定义 \(N^0_-(a,\delta),\ N_\pm(a,\delta)\) 。

\[ \forall x\in\R,\quad \lfloor x\rfloor \in\Z\ \land\ \lfloor x\rfloor \leq x \lt \lfloor x\rfloor + 1 \]

函数

一些特殊而又一般的函数：

\[ \operatorname{Dirichlet}(x) = \begin{cases} 1& x\in\Q \\ 0& x\notin\Q \end{cases} \]

在任意点不连续， \(Dirichlet(x)\cdot\Pi_i(x-x_i)\) 只在 \(x_i\) 处连续。

\[ \operatorname{Riemann}(x) = \begin{cases} \frac 1q & x=\frac pq \in \Q \\ 0 & x \notin\Q \end{cases} \]

在有理点间断而在无理点连续。

性质：有界（bounded）性、单调（monotonic）性、对称性（奇偶性（parity）、周期（period）性）。

基本初等函数：常函数，幂函数、指数函数、对数函数，三角函数、反三角函数。

三角函数和双曲函数

同角函数关系

\[ \begin{array}% \sin & \cos \\ \tan & 1 & \cot \\ & \sec & \csc \end{array} \]

向下一格相当于除以\(\cos\)，向右下一格相当于除以\(\sin\)。

再结合 \(\sin^2 x + \cos^2 x=1\) 可得到所有的同角三角函数关系。

双曲函数的定义

\[ \displaylines{ \sinh x \triangleq \frac{\e^x-\e^{-x}}2 \\ \cosh x \triangleq \frac{\e^x+\e^{-x}}2 \\ \tanh x \triangleq \frac{\sinh x}{\cosh x} } \]

\(\arcsin\) 的“arc”是arc（弧）， \(\arsinh\) 的“ar”是area（面积）。

\[ \displaylines{ \arsinh x = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \\ \arcosh x = \ln(x + \sqrt{x^2-1}) \\ \artanh x = \frac{\ln(1+x) - \ln(1-x)}2 } \]

双曲函数与三角函数的对应

\[ \begin{array}. \sin x = \frac{\sinh(\i x)}{\i} & \sinh x = \i \sin\frac{x}{\i} \\ \cos x = \cosh(\i x) & \cosh x = \cos\frac{x}{\i} \end{array} \]

2021年4月23日：

事实上双曲函数与三角函数的关系和反关系一样。例如

\[ \sinh x = \i \sin\frac x\i = \i \sin\frac{\i x}{\i^2} = \i \sin(-\i x) = -\i \sin(\i x) = \frac{\sin(\i x)}{\i} \]

这与 \(\sin x =\frac{\sinh(\i x)}{\i}\) 完全一致。

一些等式

\[ \begin{array}% \cos^2 x + \sin^2 x = 1 & \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \\ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x & 1 - \tanh^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}\\ \\ \d\sin x = \cos x\d x & \d\sinh x = \cosh x\d x \\ \d\cos x = -\sin x\d x & \d\cosh x = \sinh x\d x \\ \d\tan x = \sec^2 x \d x & \d\tanh x = \frac{\d x}{\cosh^2 x} \\ \\ \d\arcsin x = \dfrac{\d x}{\sqrt{1-x^2}} & \d\arsinh = \dfrac{\d x}{\sqrt{1+x^2}} \\ \d\arccos x = -\dfrac{\d x}{\sqrt{1-x^2}} & \d\arcosh = \dfrac{\d x}{\sqrt{x^2-1}} \\ \d\arctan x = \dfrac{\d x}{1+x^2} & \d\artanh = \dfrac{\d x}{1-x^2} \\ \end{array} \]

另外， \(\d\cot x = -\csc^2 x\d x,\ \d\sec x=\sec x\tan x \d x,\ \d\csc x = -\csc x\cot x\d x\) 。

极限

定义与性质

若 \(f(x)\) 在某 \(N^0(x_0)\) 内有定义，则“ \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的极限是\(L\)”，等价于

\[ \forall\varepsilon >0, \exists \delta >0, \forall x \in N^0(x_0,\delta),\quad f(x) \in N(L, \varepsilon) \]

记作

\[ \lim_{x\to x_0} f(x) = L \]

\(\lim = +\infty, -\infty, \infty\) 的，称作有“非正常极限”，但不算存在极限。

极限具有唯一性、局部有界性（对于数列，是全局有界性）、局部保号性、保序性、归并性（Heine定理）、绝对值性质。

若极限都存在，则极限的四则运算等于四则运算的极限。（除法还要求分母的极限不为零）

复合函数 \(x_1 \mathop{\rightarrow}^{f_{12}} x_2 \mathop{\rightarrow}^{f_{23}} x_3 \\\) 的极限：

\[ \lim_{x_1\to L_1} f_{12}(x_1) = L_2 \land f_{12}(x_1)\neq L_2 \land \lim_{x_2\to L_2} f_{23}(x_2) = L_3 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x_1\to L_1} f_{23}\circ f_{12} \circ x_1 = L_3 \]

迫敛性，单调有界准则。

例子

\[ \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \\ \lim_{x\to \infty} \left(1+\frac 1x \right)^x = \e \]

\(\exp \dfrac 1x\) 在 \(0^-,0^+,\infty\) 的极限分别是 \(0,+\infty,1\) 。

无穷小

\[ \lim f = L \quad\Leftrightarrow\quad f=L+\alpha,\quad \alpha \to 0 \]

高阶（更快，\(o(\ )\)），同阶（\(\mathcal O(\ )\)），等价（\(\sim\)）。

不是所有无穷小都可比较： \(x\to0\) 时的 \(\frac 1x\) 与 \(\frac{\sin x}{x}\) 。

与标准无穷小的\(k\)次幂等价的无穷小称作\(k\)阶无穷小。

求极限时，作为因子的无穷小可作等价替换，其它情况有时可通过四则运算转化出无穷小因子。

\(x\to0\) 时，

\[ \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \dfrac{\tan x}{x} \cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2} = \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{\frac{x^2}2}{x^2} = \frac 12 \]

但

\[ \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \dfrac{\tan x}{x^3} -\dfrac{\sin x}{x^3} = \infty - \infty \]

无法进一步求解。

等价无穷小的例子：

\[ \begin{align} x &\sim \sin x \sim \tan x \sim \sinh x \sim \arcsin x \sim \cdots \\ x &\sim \ln(1+x) \sim \e^x-1 \\ \alpha x &\sim (1+x)^\alpha -1\\ \dfrac{x^2}2 &\sim1 - \cos x \end{align} \]

连续

定义与性质

\[ \lim f = f \]

存在定义，存在极限，相等。

以上为单点的连续，区间上的连续类似。

• 连续：如上。
• 第一类间断点：左、右极限都存在。
  • 可去间断点：存在双侧极限，但函数值无定义或与极限值不相等。
  • 跳跃间断点：左、右极限不相等。
• 第二类间断点：左或右极限不存在。
  • 无穷型：例如 \(\exp\frac 1x\) 在\(0\)处。
  • 振荡型：例如 \(\sin\frac 1x\) 在\(0\)处。
  • 其它：例如 \(\operatorname{Dirichlet}(x)\) 。

连续的性质可类比极限的性质。

另外，闭区间上的连续函数有如下性质。

• 有界，最值定理。
• 零点存在性定理，介值定理。

例子

初等函数在其任意有定义的区间内连续。

求极限的方法

先判断极限类型。

简单情况

（直接上例子）

\[ \displaylines{ \lim 0 = 0 \\ \lim_{x\to x_0} (ax^2+b\ln x+ c\sin x+\cdots) = (\cdots)|_{x=x_0} } \]

\(\dfrac 00\)

除以零因子。整式也可分解成无理式。

\[ \displaylines{ x\to1:\quad \frac{x(x-1)}{x-1} = x \to 1 \\ % x\to1:\quad \frac{x-1}{\sqrt x-1} = \lim_{x\to1}\frac{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}{\sqrt x-1} = \cdots \\ % \lim_{x\to a} \frac{x-a}{\sqrt[3]x - \sqrt[3]a} = \lim_{X=\sqrt[3]x \to \sqrt[3]a = A} \frac{X^3-A^3}{X-A} = \lim_{X\to A} (X^2 + XA + A^2) = 3A^2 = 3a^{\frac 23} } \]

等价无穷小替换。由于更为熟悉 \(x\to0\) 时的无穷小，所以可借助换元。不完全分解（如 \((1-\alpha\beta) = (1-\beta) + \beta(1-\alpha)\) ）有时也有帮助。

\[ \displaylines{ x\to0:\quad \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \dfrac{\tan x}{x} \cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2} \to \dfrac{x}{x} \cdot \dfrac{\frac{x^2}2}{x^2} = \frac 12 \\ % \lim_{x\to\frac{\pi}4} \tan(2x)\tan(\frac{\pi}4-x) = \lim_{h = \frac\pi4-x \to 0} \tan(\frac{\pi}2 - 2h)\tan h = \lim_{h\to0} \frac{\tan h}{\tan(2h)} = \lim_{h\to0} \frac{h}{2h} = \frac 12 \\ % x\to1:\quad \frac{x-1}{\sqrt x-1} = \frac{x-1}{(1+(x-1))^{1/2}-1} \to \frac{x-1}{\frac12(x-1)} = 2 \\ } \]

\(1^\infty,\ 0^\infty\)

\(1^\infty\)型极限往往可利用 \(\lim_{x\to\infty} (1+\frac 1x)^x\) 。

\[ \displaylines{ \alpha \to 0,\ \beta \to \infty,\ \alpha\beta \to L \\ \Rightarrow (1+\alpha)^\beta = (1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha} \cdot \alpha\beta} = \left( (1+\alpha)^{\frac 1\alpha}\right) ^ {\alpha\beta} \to \e^L } \]

\[ n\to\infty:\quad \tan^n \left(\frac\pi4 + \frac 1n \right) = \dfrac{\left(1 + \tan\frac 1n \right)^n}{\left(1 - \tan\frac 1n\right)^n} \to \dfrac{\exp 1}{\exp(-1)} = \e^2 \]

\(\infty^0\)型有时可转化为\(1^\infty\)型。

\[ (1+2^x)^{\frac 1x} = 2 \cdot (1+2^{-x})^{\frac 1x} \]

无穷级数

利用Cauchy收敛原理可证明极限的存在性。

公式。

\[ \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n (1 - \frac1{(i+1)^2}) = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n \frac{(i+2)i}{(i+1)^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 12 \]

迫敛性。

转化为积分。

杂项

对于 \(x \to f(x)\) 迭代而成的数列的极限，证明极限存在（可用单调有界准则等）后，利用 \(\lim f(x) = \lim x\) 求极限。

有些题目可能需要分别求左、右极限。

L’ Hospital法则与各种方法结合

2021年1月14日。

\[ \begin{split} \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2} &= \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}}{2x} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{2x} \cdot \frac{1}{4\sqrt{1-x^2}} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{-\frac1{2\sqrt{1-x}}-\frac1{2\sqrt{1+x}}}{2} \cdot \frac14 \\ &= -1 \cdot \frac14 = - \frac14 \end{split} \]

带Peano余项的Taylor展开

2021年1月14日。

\[ \begin{split} \lim_{x\to0} \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^2} &= \lim_{x\to0} \frac{\left(1 +\frac{x}2 -\frac{x^2}{8} + o(x^2) \right) + \left(1 +\frac{-x}2 -\frac{(-x)^2}{8} + o(x^2) \right) - 2}{x^2} \\ &= \lim_{x\to0} \frac{-\frac{x^2}4 + o(x^2)}{x^2} = -\frac14 \end{split} \]

3 微分中值定理与导数的应用

Taylor级数

2021年1月14日。

（以下的\(i\)如无说明，皆为 \(i=0,1,\cdots\) ）

\[ \begin{align} \e^x &= \sum_i \frac{x^i}{i!} &= 1 +x +\frac{x^2}2 +\frac{x^3}{6} +\cdots \\ \ln(1+x) &= \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-x)^i}{i} &= x -\frac{x^2}2 +\frac{x^3}3 \pm\cdots \\ \sin x &= \sum_i (-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} &= x -\frac{x^3}{6} +\frac{x^5}{120} \pm\cdots \\ \cos x &= \sum_i (-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!} &= 1 -\frac{x^2}{2} +\frac{x^4}{24} \pm\cdots \\ \tan x &&= x + \frac{x^3}3 + \frac{2x^5}{15} + \cdots \\ \\ \sqrt{1+x} &= \sum_i \binom{\frac12}{i} x^i &= 1 + \frac{x}2 - \frac{x^2}8 - \cdots \\ (1+x)^n &= \sum_i \binom{n}{i} x^i &= 1 +nx +\frac{n(n-1)x^2}2 +\cdots \\ \end{align} \]

4 不定积分等

2020年12月15日~2020年12月16日。

基本

\[ \displaylines{ \int\frac{\d x}{\cos^2x} = \tan x + \const \\ \int\frac{\d x}{\sin^2 x} = \cot x + \const \\ \int\frac{\d x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + \const = -\arccos x + \const \\ \int\frac{\d x}{\sqrt{x^2+1}} = \arsinh x + \const = \ln(x + \sqrt{x^2+1}) + \const \\ \int\frac{\d x}{\sqrt{x^2-1}} = \arcosh x + \const = \ln(x - \sqrt{x^2-1}) + \const \\ \int\frac{\d x}{x^2 + 1} = \arctan x + \const \\ } \]

一些变形：

\[ \displaylines{ \int\frac{\d x}{\sqrt{a^2x^2 \pm b^2}} = \frac{1}{a} \ln(ax + \sqrt{a^2x^2 \pm b^2}) + \const \\ \int\frac{\d x}{a^2x^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \cdot \arctan \frac{ax}{b} + \const \\ } \]

将有理真分式分解为简单分式的和

目的

简单分式是形如 \(\dfrac{c}{(x-\xi)^\lambda},\ \lambda\in\N_+\) 或 \(\dfrac{c_1x + c_0}{(x^2 - 2\alpha x + \beta)^\mu},\ 0\leq\alpha^2<\beta\ \land\ \mu\in\N_+\) 的分式。因为\(\int \d x\)是线性的，所以可通过计算简单分式的积分来计算有理真分数的积分。

\[ \displaylines{ \int\dfrac{c \d x}{(x-\xi)^\lambda} = c\int\dfrac{\d(x-\xi)}{(x-\xi)^\lambda} \rightarrow \int \dfrac{\d x}{x^\lambda} = \begin{cases} \ln x & \lambda = 1 \\ - \frac 1{(\lambda-1) x^{\lambda-1}} & \lambda \geq 2 \\ \end{cases} \\ % \begin{split} \int \dfrac{c_1x + c_0}{(x^2 - 2\alpha x + \beta)^\mu} \d x &= \int \dfrac{c_1(x-\alpha) + c_1\alpha + c_0}{((x-\alpha)^2 + \beta - \alpha^2)^\mu} \d x \\ &= \frac{c_1}{2(\beta-\alpha^2)^{\mu-1}} \cdot \int\frac{\d \frac{(x-\alpha)^2}{\beta-\alpha^2}} {\left(\frac{(x-\alpha)^2}{\beta-\alpha^2} + 1 \right)^\mu} + \frac{c_1\alpha + c_0}{(\beta-\alpha^2)^{\mu-\frac12}} \cdot \int\frac{\d \frac{x-\alpha}{\sqrt{\beta-\alpha^2}}} {\left(\frac{(x-\alpha)^2}{\beta-\alpha^2} + 1 \right)^\mu} \\ &\rightarrow \int \frac{\d u}{(u+1)^\mu} + \int \frac{\d x}{(x^2+1)^\mu} \end{split} } \]

第二项可用三角换元 \(x = \tan \theta, \d x = \frac{\d\theta}{\cos^2 \theta}\) 求出：

\[ \begin{split} \int \frac{\d x}{(x^2 + 1)^\mu} &= \int \frac{\sec^2\theta \d \theta}{(\tan^2 \theta + 1)^\mu} \\ &= \int \cos^{2(\mu-1)}\theta \d\theta \end{split} \]

\(\cos^{2n}x\) 可降幂为 \(\sum_{i=0}^n a_{i,n}\cos(2ix)\) （第一类切比雪夫多项式），逐项积分后再升幂为 \(\cos x\) 的函数，然后代入 \(\cos^2\theta = \frac 1{1 + x^2}\) 及 \(\theta = \arctan x\) 即可。

或者利用 \(m\int\cos^nx \d x = \sin x \cos^{m-1}x + (m-1) \int\cos^{m-2}x\d x\) 逐渐求出。

也可直接分部积分得出递推式，从而求出：

\[ \displaylines{ I_1 = \int \frac{\d x}{x^2+1} = \arctan x + \const \\ \begin{split} \forall \mu \in \N_+, \quad I_\mu = \int \frac{\d x}{(x^2+1)^\mu} &= \frac{x}{(x^2+1)^\mu} - \int x \d\frac1{(x^2+1)^\mu} \\ &= \frac{x}{(x^2+1)^\mu} - \int x \frac{2x}{(x^2+1)^{\mu+1}} \d x \\ &= \frac{x}{(x^2+1)^\mu} - 2\mu \int \frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{\mu+1}} \d x \\ &= \frac{x}{(x^2+1)^\mu} - 2\mu \int \frac{\d x}{(x^2+1)^\mu} + 2\mu \int\frac{\d x}{(x^2+1)^{\mu+1}}\\ &= \frac{x}{(x^2+1)^\mu} - 2\mu I_\mu + 2\mu I_{\mu+1} \end{split} \\ \therefore \forall \mu \in \N_+, \quad 2\mu I_{\mu+1} = (1+2\mu)I_\mu - \frac{x}{(x^2+1)^\mu} } \]

然而一般题的次数都不高，所以很可能用不到这些。

一般

设有理真分式为 \(\frac{p(x)}{q(x)}\) ，其中 \(q(x)\) 是最高次项系数为一的实系数\(n\)次多项式， \(p(x)=\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k\) 。

故 \(q(x)\) 在\(\C\)内有\(n\)个根，且 \(q(z)=0 \Leftrightarrow q(\bar z) = 0\) ，故其中的复根成对。因此可将 \(q(x)\) 分解：

\[ \begin{split} q(x) &= \prod_{\xi_i\in\R}(x-\xi_i) \cdot \prod_{\Re\eta_j > 0}(x-\eta_j)(x - \overline{\eta_j}) \\ &= \prod_{\xi_i\in\R}(x-\xi_i) \cdot \prod_{\Re\eta_j > 0}(x^2 - 2\Re\eta_j + |\eta_j|^2) \\ &= \prod_i (x-\xi_i)^{\lambda_i} \cdot \prod_j(x^2 - 2\alpha_j x + \beta_j)^{\mu_j} \qquad (\forall j,\quad 0 \leq \alpha_j^2 < \beta_j) \\ \end{split} \]

那么可待定系数\(c\)：

\[ \dfrac{\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k}{q(x)} = \sum_i \sum_{k=1}^{\lambda_i} \dfrac{c_{1,i,k}}{(x-\xi_i)^k} + \sum_j \sum_{k=1}^{\mu_j} \dfrac{c_{2,j,k,1}x+c_{2,j,k,0}}{(x^2 - 2\alpha_j x + \beta_j)^{\mu_k}} \]

左侧有\(n\)个参数，右侧有 \(\sum_i \lambda_i + \sum_j 2\mu_j\) 个参数。考察\(\lambda,\mu\)的定义，可知两侧参数数量相等。因此，解线性方程组即可确定\(c\)。

特殊

（\(\beta>\alpha^2\)）

\[ \begin{split} \int \frac{c_1x + c_0}{x^2 - 2\alpha x + \beta} \d x &= \frac{c_1}2 \ln(x^2 - 2\alpha x + \beta) + \int \frac{c_1 \alpha + c_0}{x^2 - 2\alpha x + \beta}\d x \\ &= \frac{c_1}2 \ln(x^2 - 2\alpha x + \beta) + \frac{c_1\alpha+c_0}{\sqrt{\beta-\alpha^2}}\cdot \arctan \frac{x-\alpha}{\sqrt{\beta - \alpha^2}} + \const \end{split} \]

（\(\beta\leq\alpha^2\)时可以配方）

三角有理式

万能代换（\(x = \tan\frac\theta2\)）。

\[ \int \sin^5 x \d x = \int (1-\cos^2 x)^2 \d \cos x = \cdots \]

只含有 \(\sin^2 x, \sin x\cos x, \cos^2 x\) 等（可与\(\tan x\)一一对应的三角函数）的，可化为 \(\int f(\tan^2 x) \sec^2 x \d x = \int f(\tan^2 x) \d \tan x\) 。

有时直接进行恒等变形即可。

\[ \displaylines{ \int \tan^2 x\d x = \int (\sec^2 x - 1)\d x = \tan(x) - x + \const \\ \begin{split} \int \frac{x\d x}{1+\cos x} &= \int \frac{x}{2} \sec^2\frac{x}{2} \d x = \int x\d \tan\frac{x}{2} \\ &= x \tan\frac{x}{2} - \int \tan\frac{x}{2}\d x \\ &= x \tan\frac{x}{2} + 2\ln \cos\frac{x}{2} + \const \end{split} } \]

应用

绕\(x\)轴的旋转体的体积

\[ \displaylines{ V = \int_0^{x_0} \pi y^2 \d x \\ V = \int_{\frac\pi2}^0 \pi \rho^2 \sin^2\theta \d(\rho\cos\theta) = \pi \int_0^{\frac\pi2} \rho^2\sin^2\theta \cdot \left( \rho\sin\theta - \frac{\d\rho}{\d\theta}\cos\theta \right) \d\theta \\ V = \int_0^{\frac\pi2} \frac13 \cdot 2\pi\rho\sin\theta \cdot \rho \cdot \rho\d\theta = \frac{2\pi}3 \int_0^{\frac\pi2} \rho^3\sin\theta \d\theta \\ } \]

\[ \displaylines{ \begin{split} \frac{V}{\pi} &= \int_0^{\frac\pi2} \rho^2\sin^2\theta \cdot \left( \rho\sin\theta - \frac{\d\rho}{\d\theta}\cos\theta \right) \d\theta \\ &= \int_0^{\frac\pi2} \left( \rho^3\sin^3\theta - \rho^2\frac{\d\rho}{\d\theta}\sin^2\theta\cos\theta \right) \d\theta \\ &= \int \rho^3\sin^3\theta \d\theta - \frac13 \int \sin^2\theta\cos\theta \cdot \frac{\d \rho^3}{\d\theta} \d\theta \\ \end{split} \\ % \begin{split} \text{in which} & \int_0^{\frac\pi2} \sin^2\theta\cos\theta \cdot \frac{\d \rho^3}{\d\theta} \d\theta \\ &= \rho^3\sin^2\theta\cos\theta \Big|_0^{\frac\pi2} - \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 \d(\sin^2\theta \cos\theta) \\ &= 0 - \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 (2\sin\theta\cos^2\theta - \sin^3\theta) \d\theta \\ &= - \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 \sin\theta (2\cos^2\theta-\sin^2\theta) \d\theta \\ &= - \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 \sin\theta (2-3\sin^2\theta) \d\theta \\ \end{split} \\ % \begin{split} \therefore \frac{V}{\pi} &= \int_0^{\frac\pi2} \rho^3\sin^3 \d\theta + \frac13 \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 \sin\theta (2-3\sin^2\theta) \d\theta \\ &= \int_0^{\frac\pi2} \rho^3 \left( \sin^3 + \frac{2\sin\theta - 3\sin^3\theta}3 \right) \d\theta \\ &= \int_0^\frac\pi2 \rho^3 \sin^3\theta \d\theta \end{split} \\ } \]

零点存在性问题

2021年1月28日。

已知函数\(f\)满足若干条件，求证： \(\exists \xi, F(x,f,f',\cdots)|_{x=\xi} = 0.\)

有多个“\(\exists\xi_i\)”的，分别用定理表示，联立。

依据

• 闭区间上连续函数的性质

  • 零点存在性定理
  • 介值定理

• 微分中值定理

  设 \(\varphi(x,f,\cdots)\) ，对它应用定理。

  • Rolle’s
  • Lagrange’s
  • Cauchy’s

• Taylor中值定理

• 积分中值定理

  • \(\exists\xi, f(\xi) = \bar f.\)
  • \(\exists\xi,\quad \int fg\d x = f(\xi) \int g\d x.\)

手法

• \(F=\lambda f' + \mu f'',\quad \lambda,\mu\in\const\)

  \(\varphi = \lambda f + \mu f'\)

• \(F=u(x) f + v(x) f'\)

  设 \(\varphi = C(x) f,\quad C\not\equiv 0\) ，那么 \(\varphi' = C'f + C f'\) 。要让\(\varphi\)是\(F\)的倍数，即 \(C'v-Cu=0\) 。这是关于\(C\)的微分方程，解出来即可。注意，即使\(u,v\)不是具体函数，\(C\)也能解出。

  对于\(F=f+f'\)，可设\(\varphi=\e^x f\)，保证\(\varphi=0\)时\(F=0\)。

• \(F=\lambda f + \mu f''\)

  一般可找出一个含\(f,f’\)的函数，使\(F\)是它与它的导数的组合。

注意

注意求切线还是法线。

\(\lim_{x\to\infty}\)是双侧极限。

\(\sqrt{x^2}=|x|=\pm x\) ，要分类。

\[ \lim_{x\to\pm\infty} (\sqrt{2x^2+x} - \sqrt{2x^2+1}) = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1-x}{\sqrt{2x^2+x} + \sqrt{2x^2+1}} = \pm\frac1{2\sqrt2} \]

求极限时取对数后记得再取回去。

导数不存在点也可能是极值点。

不定积分加 \(\const\) 。

注意积分区间（顺序、变化）。

换元法求不定积分时，答案要==换回原变量==；解微分方程组时，结果要写明所有的函数。

求定积分时，可能涉及 \(\sqrt{\pm x}\) 一类的问题，也可能有瑕点。

微分方程可能有奇解，要检验。

后备箱

二阶微分不具有形式不变性。

恰当方程。

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