无限长带电圆柱面

2022年11月6日，2022年11月16–17日。

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情景

有一无限长均匀带电圆柱面，绕轴转动，请问管内外磁场分布怎样？

电荷均匀分布于无限长圆柱面，“绕轴匀速转动”（无限长载流直密绕螺线管）和“沿轴匀速平移”（无限长空心直导线）是两个典型模型，结课后最好达到“做梦都能梦清楚”的程度。

这里只讨论前者。

另请参考教材206页 §3.4.3 例3–9。（iCourse 教材，胡海云等《大学物理·（第三卷）电磁学》，高等教育出版社）

无限长圆柱面是有限长圆柱面的极限，密绕螺线管是几匝导线环的极限。

这种方法从极限过程分析的，逻辑少，容易理解；然而未免夹杂插科打诨。下面我们再从对称性严格分析一下。（对称性是电磁学的一大主题，在平时多思考思考无碍。）

对称性有两种论证思路。

找对称的两点，考虑它们作用之和。

做某种对称操作，考虑操作前后的变化。

这里按第二种来。

电流分布有柱对称性，下面所说的径向、切向、轴向分别指 $\hat \rho$、$\hat \varphi$、$\hat z$。

切向：
1. 绕轴旋转对称性 ⇒ $\rho,z$ 相同时，切向分量与 $\varphi$ 无关。
2. 安培环路定律（环路取 $\rho = \rho_0$，$z = z_0$） ⇒ $\oint \vbi{B} \vdot \vbi{\dd{l}} = 0$ ⇒ 切向分量为零。
径向：
1. 绕轴旋转对称性 ⇒ $\rho,z$ 相同时，径向分量与 $\varphi$ 无关。
2. 对称性：电流反向，再绕任意半径旋转半周后，场景不变。
  
  电流反向 ⇔ $\vbi{B}$ 反向；由 1. 绕任意半径旋转半周相当于没变。
  
  因此这一对称性 ⇒ 无径向分量。
轴向：
- 沿轴平移对称性 ⇒ $\rho,\varphi$ 相同时，轴向分量与 $z$ 无关。
- 如下图中的 a、c，在 $\varphi$ 平面找一矩形环路，但不跨越圆柱面（不能是 b），运用安培环路定律 ⇒ $\rho,\varphi$ 相同时，轴向分量在管内外分别与 $\rho$ 无关。
  
  三种矩形环路｜Wikipedia

以上推理说明：

至此，$\vbi B$ 在全空间只有管内、管外强度两个变量待定。

上面只考虑了对称，下面来考虑一点物理实际。（也就是207页剩下的部分）

取特殊点 $\rho \to +\infty$。因为远离所有电流，磁感应强度为零。

由 BSL 定律，$\abs{\vbi{B}}$ 最差也是按 $1/\rho$ 衰减的。

再根据管外匀强，整个管外 $\vbi{B}$ 都是零。

$I_s$ 是面电流线密度。

在 $\varphi$ 平面找一矩形环路，但跨越圆柱面（前面图中的 b），运用安培环路定律 ⇒ 管内管外磁感应强度之差是 $\mu_0 I_s$。

结合上一节可得结论。

请读者思考以下各情景分别打破哪部分逻辑，哪些结论仍然适用。