2 光速有限
狭义相对论讨论不同惯性系对相同事情的描述。如果我们选好一个惯性系不变，那么相对性原理、光速不变原理都无法应用，就完全没有狭义相对论的事儿——可有多少东西真正只涉及一个惯性系？
简单例子 ⚓
之前属于高中物理，现在开始小学数学／初中物理了。
激光测距 ⚓
“坐地日行八万里。”地面台站发射的激光经月球表面回射器反射，总计 \(2.6 \text{ s}\) 后返回台站。请问地月距离几何？
\( 1.3\text{ ls} = 3.9 \times 10^8 \text{ m} \)。
“日行八万里”是地球相对太阳系背景参照系的速度，而地月距离是在地球参照系测。在地球参照系中，激光发射、返回是同一地点的两个事件，测到的量是它们的时间间隔。
探测器爆炸 ⚓
“银河”号悬停于木卫二云层上方 $ L \approx 500 \text{ km} $ 处，以 \(T\) 为周期发射了一系列高速微型探测器，并让他们自主保持下落速度恒为 \(v\)。然而探测器一到云层就会立即神秘爆炸。请问银河号发射第一颗探测器后多久才得知会爆炸？观测到各次爆炸的时刻怎样？
$ L \left( v^{-1} + c^{-1} \right) $，周期同样为 $T$。
讨论 ⚓
以上两例中的时间都代表同地不同时的两个事件的时间间隔。的确有第三个不同地的事件，但我们并未讨论它的时间坐标，尽管可从别处反推。银河号不是 Dave Bowman，别处的事它只能事后得知，仅自己世界线上的事件能立即观察。
例：末日之战 ⚓
联合舰队密密麻麻，排成一字长蛇阵。“水滴”若无其事，以匀速 \(v\) 贯穿舰队。“无限边疆”号首当其冲，然后以 \(T\) 为周期不断向远去的水滴发射电磁脉冲。……“水滴用了一分钟十八秒飞完两千公里的路程”，此时指挥系统仍无反应，战舰纹丝未动，只是变成了残骸。
战后，人们恢复了战场信息系统。这个监测网汇总了各个战舰对水滴的近距离观测，发现它确实周期性地受到了电磁脉冲，但毫发无损。请问这个周期 \(T’\) 几何？
解 ⚓
第 \(n\) 次电磁脉冲伴随两个事件：发射（\(E_n\)，emission）、击中（\(H_n\)，hit）。它们在舰队参照系中的坐标如下。
- \(E\)：空间坐标一致（都与无限边疆号相同），时间坐标周期为 \(T\)；
- \(H\)：空间坐标不同，时间坐标周期为 \(T’\)。
考虑 $ \triangle E_0 E_1 H_1 $。以 $E_0$ 为原点，则 $E_1 (0, T)$，$H_1 (x_{H_1}, T’)$。由于 $E_1 H_1$ 是电磁脉冲的世界线，$x_{H_1} = c (T’-T)$；由于 $E_0 H_!$ 是水滴的世界线，$x_{H_1} = v T’$。联立解得 $1 - T/T’ = v/c$，$T’ = T / \left( 1 - \frac{v}{c} \right)$。
另法 ⚓
（沿用坐标系）易知若 $(x_0, t_0)$ 在某一次电磁脉冲的世界线 $l$ 上，则 $l:\ x-x_0 = c (t-t_0)$。
水滴世界线的方程是 $x = vt$，可得 $H_n$ 的坐标为 $(nvT’, nT’)$。
由定义，$H_n \in l_n$，所以 $l_n:\ x - nvT’ = c (t - nT’)$。令 $x=0$，得 $l_n$ 与无限边疆号世界线的交点 $(0,\ nT’ - nvT’/c ) = \left( 0,\ n \left( 1 - \frac{v}{c} \right) T’ \right)$，这就是 $E_n$。又显然 $E_n (0, nT)$， 故 $T’ = T / \left( 1 - \frac{v}{c} \right)$。
讨论 ⚓
这就是多普勒效应，但我们的重点是讨论了不同地的若干事件的时间间隔。各个舰队的世界线在时空图中拼成区域作为“舰队参照系”，覆盖了水滴的世界线。（一般也说“无限边疆号参照系”，隐含相对静止的舰队。）
有个小问题，日志记的都是自己战舰上的时钟（对应固有时），需要给参照系定义一个统一的时间，不然没法儿拼接不同战舰的日志。定义“坐标时”就是定义“同时”，俗称“对表”，体现在时空图上是问什么叫“与 $t$ 轴垂直”。
受之前简单例子启发，可以让两束光反射，构造菱形，从而得垂线。
“看” ⚓
希望我们到这儿都已熟悉“光的发射、传播、接收是个过程”。
- 只要不同地，遇到同一束光的时刻就有先有后。
- 如果存在相对运动，遇到一系列光的时刻还有疏有密。
“看”也是这种过程。光连接了实际物体和观察者。它的世界线从某处出发，然后与 $t$ 轴（设为观察者的世界线）相交。下面定量描述一下。运动是一系列事件，我们先从简单入手。
事件 ⚓
对于事件 $(\vec x, t)$，利用前面的方法，可知“看到它”这一事件的坐标是 $(0, t + \abs{\vec x}/c)$。人的眼、脑会怎么理解这个信息呢？我们简单假设，按照“光能瞬间传播”理解。于是视觉上这个事件发生在原处（$\vec{x’} = x$），但 $t’$ 坐标变为 $t + \abs{\vec x}/c$。
运动 ⚓
上图中的点线就是几例。
设世界线（的方程）为 $\vec{x} = \left. \vec{x} \right\vert_t$。应用 $(\vec{x}, t) \mapsto (\vec{x}, t + \abs{\vec x}/c)$，得 $\vec{x}’ = \left. \vec{x} \right\vert_t = \left. \vec{x} \right\vert_{t’ - \abs{ \left.\vec{x}\right\vert _ {\color{red} t} }/c }$ ——呃……等等，视觉上 $\vec{x}’$ 本来就不一定是 $t’$ 的单值函数了；当然这没考虑速度上限，可我们设出的世界线的形式也没体现速度上限啊……（想必你已试过把图中的 $c$ 调得特别小）
退一步，考虑瞬时。如果物体某时刻以速度 $\dv{\vec x}{t} = \vec{v}$ 运动，那么看到这一事件时，视觉上的速度 $\dv{\vec x’}{t’} = \vec v / \dv{t’}{t}$，其中 $\dv{t’}{t} = 1 + \dv{\abs x}{t} / c = 1 + \vec v \cdot \hat x / c$。
然而做这些计算对画下面这些图并没有帮助；还不如想象出实际时空图，然后把 \(c\) 调小，变形整个时空。